Сферы Берже

Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии. Названы в честь Марселя Берже.

Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа.

Построение

Рассмотрим $\mathbb {S} ^{3}$ как сферу в комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{2}$. На ней действует $\mathbb {S} ^{1}\subset \mathbb {C}$ комплексными умножениями. Таким образом на $\mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{3}$ можно построить изометрическое действие $\mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}$ с помощью комплексных поворотов $\mathbb {S} ^{3}$ и сдвигов по $\mathbb {R}$. В $\mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}$ есть однопараметрическое семейство подгрупп $\mathbb {R} _{\alpha }$ изоморфных $\mathbb {R}$, с элементами типа $(t,e^{\alpha t})\in \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}$. Фактор $\mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{3}$ по действию $\mathbb {R} _{\alpha }$ диффеоморфен $\mathbb {S} ^{3}$, но индуцированная риманова метрика $g_{\alpha }$ на нём отличается от стандартной. Полученное риманово многообразие $(\mathbb {S} ^{3},g_{\alpha })$ называется сферой Берже.

Свойства

• Из формулы О’Нэйла, секционная кривизна $g_{\alpha }$ положительна.
• При $\alpha \to \infty$ пространства $(\mathbb {S} ^{3},g_{\alpha })$ коллапсируют к $\mathbb {S} _{1/2}^{2}$, стандартной 2-сфере радиуса $1/2$.
• При $\alpha \to \infty$, тензор кривизны $(\mathbb {S} ^{3},g_{\alpha })$ сходится к тензору кривизны пространства $\mathbb {R} \times \mathbb {\mathbb {S} } _{1/2}^{2}$.
• Сферы Берже являются частным случаем левоинвариантных метрик на $\mathbb {S} ^{3}=Spin_{4}$.
• Круговые сферы в комплексной проективной плоскости $\mathbb {C} P^{2}$ с метрикой Фубини — Штуди с точностью до коэффициента являются сферами Берже.
• На сферах Берже, окружности в расслоении Хопфа образуют двупараметрическое семейство замкнутых геодезических, которые при достаточно больших $\alpha$ являются стабильными, (то есть нельзя добиться уменьшения их длины небольшими шевелениями).