Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее:

Если $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ — различные алгебраические числа, линейно независимые над $\mathbb {Q}$, то $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}$ являются алгебраически независимыми над $\mathbb {Q}$, то есть, степень трансцендентности расширения $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}})$ равна $n$

Часто используется другая эквивалентная формулировка:

Для любых различных алгебраических чисел $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ числа $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}$ являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел ${\overline {\mathbb {Q} }}$.

История

В 1882 году Линдеман доказал, что $e^{\alpha }$ трансцендентно для любого ненулевого алгебраического $\alpha$, а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.

Доказательство трансцендентности π

Применим метод доказательства от противного. Предположим, число $\pi$ является алгебраическим. Тогда число $i\pi$, где $i$ — мнимая единица, также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число $e^{i\pi }$ трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу $-1$, что вызывает противоречие. Следовательно, число $\pi$ трансцендентно.

Литература

• Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 564 с.
• Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4