Теорема Пуанкаре о векторном поле

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа.

Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.

Формулировка

Пусть на гладком замкнутом многообразии $M$ определено гладкое векторное поле $V$, имеющее конечное число изолированных особых точек $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$. Тогда

$\sum _{i=1}^{n}J_{A_{i}}(V)=\chi (M),$

здесь $J_{A_{i}}(V)$ — индекс точки $A_{i}$ относительно поля $V$ и число $\chi (M)$ — эйлерова характеристика многообразия $M$.

История

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году.

Вариации и обобщения

• Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями.

Литература

• Милнор Дж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
• Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Любое издание.