Нетранзитивность

Нетранзитивность в математике — обозначение ряда похожих свойств бинарных отношений.

Отсутствие транзитивности

Отношение называется транзитивным, если для любых троек А, В и С, таких, что пары (А,В) и (В,С) удовлетворяют ему, то и пара (А,С) также ему удовлетворяет. Ряд авторов называют нетранзитивными отношения, не удовлетворяющие этому свойству, то есть отношения R, такие, что

$\neg \forall a,b,c:aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc.$

Например, отношение «есть» в пищевой цепи является нетранзитивным в этом смысле: волки едят оленей, олени едят траву, но волки не едят траву.

Антитранзитивность

Часто термин нетранзитивность используется для обозначения более «сильного» свойства — антитранзитивности отношения. Отношение R называется антитранзитивным, если транзитивность отсутствует для любых троек элементов:

$\forall a,b,c:aRb\wedge bRc\Rightarrow \neg (aRc)$

Например, упомянутое выше отношение «есть» не является антитранзитивным: люди едят кроликов, кролики едят морковь, но люди тоже едят морковь.

Антитранзитивное отношение — отношение победить в турнирах «на вылет»: если A победил игрока B, а B победил игрока C, то A не играл с C, следовательно, не мог его победить.

Циклы в бинарных отношениях

На практике термин нетранзитивность чаще всего употребляется при описании ситуаций, когда отношения описывают предпочтения на парах альтернатив, сравнение которых приводит к наличию циклов: A предпочтительнее B, B предпочтительнее C, а C предпочтительнее A.

Наиболее известным примером наличия циклов является детская игра «Камень, ножницы, бумага». Другие примеры — нетранзитивные кости (кубики Эфрона), «Игра Пенни».

Если отношение предпочтения антирефлексивно, наличие циклов в предпочтениях приводит к нарушению транзитивности. Это свойство не эквивалентно указанным выше отсутствию транзитивности и антитранзитивности отношения.

Возникновение нетранзитивности предпочтений

• Нетранзитивность общественных предпочтений может возникать при голосовании по правилу большинства, а также по правилу Кондорсе (см. парадокс Кондорсе).
• В психологии нетранзитивность предпочтений возникает, если индивидуум руководствуется несколькими несогласованными системами ценностей.
• Аналогичным образом, нетранзитивность может возникать в потребительских предпочтениях, что приводит к отклонению поведения потребителя от экономически рационального.

См. также

• Транзитивность
• Отношение предпочтения

Литература

• Anand P. Foundations of Rational Choice Under Risk, Oxford, Oxford University Press. — 1993.