Обратные тригонометрические функции

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение: $\arcsin x;$ число, синус которого равен $x$)
• арккосинус (обозначение: $\arccos x;$ число, косинус которого равен $x$ и т. д.)
• арктангенс (обозначение: $\operatorname {arctg} x$; в иностранной литературе $\arctan x$)
• арккотангенс (обозначение: $\operatorname {arcctg} x$; в иностранной литературе $\operatorname {arccot} x$ или (намного реже) $\operatorname {arccotan} x$)
• арксеканс (обозначение: $\operatorname {arcsec} x$)
• арккосеканс (обозначение: $\operatorname {arccosec} x$; в иностранной литературе $\operatorname {arccsc} x$)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }},$ но они не прижились. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin⁻¹, cos⁻¹ для арксинуса, арккосинуса и т. п., — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, $\arcsin 1/2$ означает множество углов $\left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)$, синус которых равен $1/2$. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ все решения уравнения $\sin x=\alpha$ можно представить в виде $x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.$

Основное соотношение

$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}$

Функция arcsin

График функции $y=\arcsin x$

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого $\sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},\quad |x|\leqslant 1.$

Функция $y=\arcsin x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

• $\sin(\arcsin x)=x\qquad$ при $-1\leqslant x\leqslant 1,$
• $\arcsin(\sin y)=y\qquad$ при $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
• $D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (область определения),
• $E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad$ (область значений).

Свойства функции arcsin

• $\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (функция является нечётной).
• $\arcsin x>0$ при $0<x\leqslant 1$.
• $\arcsin x=0$ при $x=0.$
• $\arcsin x<0$ при $-1\leqslant x<0.$
• $\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.$
• $\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
• $\arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• $\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$

Получение функции arcsin

Дана функция $y=\sin x$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y=\arcsin x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок $[-\pi /2;\pi /2]$, на котором функция $y=\sin x$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке $[-\pi /2;\pi /2]$ существует обратная функция $y=\arcsin x$, график которой симметричен графику функции $y=\sin x$ относительно прямой $y=x$.

Функция arccos

График функции $y=\arccos x$

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого $\cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,\quad |x|\leqslant 1.$

Функция $y=\arccos x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

• $\cos(\arccos x)=x$ при $-1\leqslant x\leqslant 1,$
• $\arccos(\cos y)=y$ при $0\leqslant y\leqslant \pi .$
• $D(\arccos x)=[-1;1]$ (область определения),
• $E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (область значений).

Свойства функции arccos

• $\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$ Функция центрально-симметрична относительно точки $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right),$ является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• $\arccos x>0$ при $-1\leqslant x<1.$
• $\arccos x=0$ при $x=1.$
• $\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$
• $\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
• $\arccos x=\operatorname {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
• $\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$
• $\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}$
• $\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}$
• $\arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}=2\operatorname {arctg} {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}$

Получение функции arccos

Дана функция $y=\cos x$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие $y=\arccos x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок $[0;\pi ]$, на котором функция $y=\cos x$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке $[0;\pi ]$ существует обратная функция $y=\arccos x$, график которой симметричен графику функции $y=\cos x$ относительно прямой $y=x$.

Функция arctg

График функции $y=\operatorname {arctg} \,x$

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла $y,$ выраженное в радианах, для которого $\operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.$

Функция $y=\operatorname {arctg} x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

• $\operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x$ при $x\in \mathbb {R} ,$
• $\operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y$ при $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
• $D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )$ (область определения),
• $E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)$ (область значений).

Свойства функции arctg

• $\operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad$ (функция является нечётной).
• $\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$
• $\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
• $\operatorname {arctg} x=2\operatorname {arctg} {\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+1}}=2\operatorname {arctg} {\frac {{\sqrt {1+x^{2}}}-1}{x}}.$
• $\operatorname {arctg} x=\pi /2-\operatorname {arcctg} x.$
• $\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}},\qquad x>0\\\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$
• $\operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arth} {ix}$, где $\operatorname {arth}$ — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.
• $\operatorname {arth} x=i\operatorname {arctg} {ix}.$

Получение функции arctg

Дана функция $y=\operatorname {tg} \,x$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\operatorname {arctg} \,x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал $(-\pi /2;\pi /2)$, на котором функция $y=\operatorname {tg} \,x$ строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале $(-\pi /2;\pi /2)$ существует обратная функция $y=\operatorname {arctg} \,x$, график которой симметричен графику функции $y=\operatorname {tg} \,x$ относительно прямой $y=x$.

Функция arcctg

График функции $y=\operatorname {arcctg} x$

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\operatorname {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .$

Функция $y=\operatorname {arcctg} \,x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

• $\operatorname {ctg} (\operatorname {arcctg} \,x)=x$ при $x\in \mathbb {R} ,$
• $\operatorname {arcctg} (\operatorname {ctg} \,y)=y$ при $0<y<\pi ,$
• $D(\operatorname {arcctg} x)=(-\infty ;\infty ),$
• $E(\operatorname {arcctg} x)=(0;\pi ).$

Свойства функции arcctg

• $\operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} x.$ График функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• $\operatorname {arcctg} x>0$ при любых $x.$
• $\operatorname {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$
• $\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$
• $\operatorname {arcctg} x=2\operatorname {arctg} ({\sqrt {x^{2}+1}}-x)=2\operatorname {arcctg} ({\sqrt {x^{2}+1}}+x).$
• $\operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.$
• $\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}},\qquad x>0\\\operatorname {arctg} {\frac {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{matrix}}\right.$

Получение функции arcctg

Дана функция $y=\operatorname {ctg} \,x$. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\operatorname {arcctg} \,x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал $(0;\pi )$, на котором функция $y=\operatorname {ctg} \,x$ строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале $(0;\pi )$ существует обратная функция $y=\operatorname {arcctg} \,x$, график которой симметричен графику функции $y=\operatorname {ctg} \,x$ относительно прямой $y=x$.

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, $x\rightarrow -x$) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы $\operatorname {arcctg} x=\operatorname {arctg} (-x)+\pi /2.$

Функция arcsec

График функции $y=\operatorname {arcsec} x$

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .$

Функция $y=\operatorname {arcsec} x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

• $\sec(\operatorname {arcsec} x)=x$ при $|x|\geqslant 1,$
• $\operatorname {arcsec}(\sec y)=y$ при $0\leqslant y\leqslant \pi .$
• $D(\operatorname {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (область определения),
• $E(\operatorname {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}};\pi ]$ (область значений).

Свойства функции arcsec

• $\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x.$ График функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
• $\operatorname {arcsec} x\geqslant 0$ при любых $x.$
• $\operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\geqslant 1\\\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matrix}}\right.$
• $\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccosec} x.$
• $\operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x}}.$

Функция arccosec

График функции $y=\operatorname {arccosec} x$

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\operatorname {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$

Функция $y=\operatorname {arccosec} x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

• $\operatorname {cosec} (\operatorname {arccosec} x)=x$ при $|x|\geqslant 1,$
• $\operatorname {arccosec} (\operatorname {cosec} y)=y$ при $-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$
• $D(\operatorname {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (область определения),
• $E(\operatorname {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2}};0)\cup (0;{\frac {\pi }{2}}]$ (область значений).

Свойства функции arccosec

• $\operatorname {arccosec} (-x)=-\operatorname {arccosec} x$ (функция является нечётной).
• $\operatorname {arccosec} \,x=\operatorname {arctg} {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matrix}}\right.$
• $\operatorname {arccosec} x=\pi /2-\operatorname {arcsec} x.$
• $\operatorname {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x}}.$

Разложение в ряды

• $\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1$
• $\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1$
• $\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1$

Производные от обратных тригонометрических функций

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

производные обратных тригонометрических функций

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Примечание
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. $sin(arcsin((x))=x$ После чего мы должны взять производную этих обеих функций. $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ Теперь мы должны выразить производную арксинуса. $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))}}$ Исходя из тригонометрического тождества($sin^{2}x+cos^{2}x=1$) — получаем. $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}$ Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения. $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2}};-{\frac {\pi }{2}}]$ Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный. $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}$ Получается. $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества: $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ Теперь выражаем производную арккосинуса. $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ Получается. $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\mathrm {arctg} \ x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$	Доказательство                                  Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции: $tg(arctg(x))=x$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}\cdot (arctg(x))'=1$ Теперь мы должны выразить производную арктангенса: $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ Теперь на помощь нам придет на помощь тождество($cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)}}}$): $(arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}$ Получается. $(arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\mathrm {arcctg} \ x$	$-{\frac {1}{1+x^{2}}}$	Доказательство                                  Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества: $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'$ $(arctg(x))'+(arcctg(x))'=0$ Теперь выражаем производную арккотангенса. $(arcctg(x))'=-(arctg(x))'$ Получается. $(arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арксеканса можно при помощи тождества: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x}})$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x}}))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}\cdot (-{\frac {1}{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}$ Получается. $(arcsec(x))'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство                                  Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества: $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ Теперь выражаем производную арккосинуса. $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ Получается. $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Интегралы от обратных тригонометрических функций

Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

${\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}$

Для действительных x ≥ 1:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}$

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии

Прямоугольный треугольник ABC

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины $a$ является противолежащим для угла $\alpha$, то

$\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatorname {arctg} (a/b)=\operatorname {arccosec} (c/a)=\operatorname {arcsec}(c/b)=\operatorname {arcctg} (b/a).$

Связь с натуральным логарифмом

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

$\arcsin z=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}+i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}})=-i\operatorname {arsh} \,iz,$

$\arccos z={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})=-i\operatorname {arch} iz,$

$\operatorname {arctg} z={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz))=-i\operatorname {arth} iz,$

$\operatorname {arcctg} z={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right)=i\operatorname {arcth} iz,$

$\operatorname {arcsec} z=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),$

$\operatorname {arccosec} z=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).$

См. также

• Обратные гиперболические функции
• Теорема Данжуа — Лузина

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
• Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии.  — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
• Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
• Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
• Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции