Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (Рекурсивный фильтр, БИХ-фильтр) или IIR-фильтр (IIR сокр. от infinite impulse response — бесконечная импульсная характеристика) — линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образующий обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговыми, так и цифровыми.

Примерами БИХ-фильтров являются фильтр Чебышёва, фильтр Баттерворта, Фильтр Калмана и фильтр Бесселя.

Описание

Динамические характеристики

Разностное уравнение, описывающее дискретный БИХ-фильтр, устанавливает связь между входным и выходным сигналами во временной области:

$y(n)=b_{0}x(n)+b_{1}x(n-1)+\cdots +b_{P}x(n-P)-a_{1}y(n-1)-a_{2}y(n-2)-\cdots -a_{Q}y(n-Q)$

где $P$ порядок входного сигнала, $b_{i}$ — коэффициенты входного сигнала, $Q$ — порядок обратной связи, $a_{i}$ — коэффициенты обратной связи, $x(n)$ — входной, а $y(n)$ — выходной сигналы.

Более компактная запись разностного уравнения:

$y(n)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x(n-i)-\sum _{k=1}^{Q}a_{k}y(n-k)$

Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим

$x(n)=\delta (n)$

где $\delta (n)$ — дельта-функция.

Тогда импульсная переходная функция (ядро фильтра) записывается как

$h(n)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}\delta (n-i)-\sum _{k=1}^{Q}a_{k}h(n-k)$

Z-преобразование импульсной переходной функции даёт передаточную функцию БИХ-фильтра:

$H(z)={\frac {\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{1+\sum _{k=1}^{Q}a_{k}z^{-k}}}$

Устойчивость

Об устойчивости фильтра с бесконечной импульсной характеристикой судят по его передаточной функции. Для дискретного фильтра необходимо и достаточно, чтобы все полюса его передаточной функции по модулю были меньше единицы (т.е. лежали внутри единичного круга на z-плоскости). Все критерии устойчивости, применимые в теории линейных стационарных систем, например критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Рауса применимы и в случае БИХ-фильтров.

В отличие от КИХ-фильтров, БИХ-фильтры не всегда являются устойчивыми.

Реализация БИХ фильтра

Если рассматривается передаточная функция вида:

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{1+\sum _{k=1}^{N}a_{k}z^{-k}}}={\frac {B(z)}{A(z)}},$

то соотношение между входом и выходом такой системы должно удовлетворять разностному уравнению:

$y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(n-k)+\sum _{k=0}^{M}b(k)x(n-k)$

Это уравнение может быть записано непосредственно из выражения для передаточной функции, таким образом форму построения цепи, соответствующей этому уравнению, называют прямой формой 1.

Прямая реализация типа 1 БИХ фильтра

При построении БИХ фильтра для простоты можно принять, что M=N. БИХ фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов или основных операций: умножитель, сумматор и блок задержки. Этих элементов достаточно для всех возможных цифровых фильтров. Вариант, показанный на рисунке есть прямая реализация БИХ-фильтров типа 1.

Поскольку совокупности коэффициентов b(k) и a(k) соответствуют полиномам числителя B(z) и знаменателя A(z) передаточной функции Н(z), то прямую форму БИХ-фильтра, показанную на рисунке, можно трактовать как каскадное соединение двух цепей. Первая из них реализует нули и имеет передаточную функцию B(z), а вторая — полюсы, и имеет передаточную функцию 1/A(z). Обозначив выходной сигнал первой системы w(n), разностное уравнение можно заменить системой уравнений:

$y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(n-k)+w(n),$

$w(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)x(n-k)$

которая и реализована структурой, показанной на рисунке.

В дискретных системах с постоянными параметрами соотношение между входом и выходом не зависит от порядка каскадного соединения блоков. Из этого свойства вытекает вторая прямая форма построения БИХ-фильтра. Если сначала реализовать полюсы H(z) соответствующие правой части структурной схемы верхнего рисунка, которая имеет передаточную функцию 1/A(z), а после — нули передаточной функцией B(z), то получим структуру, показанную на рисунке 2, которая соответствует системе уравнений:

$w(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)w(n-k)+x(n),$

$y(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)w(n-k).$

Прямая реализация типа 2 БИХ фильтра (неканоническая)

Объединив линии задержки в структуре, показанной на верхнем рисунке, получим прямую каноническую форму БИХ-фильтра:

Прямая реализация типа 2 БИХ фильтра (каноническая)

В некоторых случаях, с точки зрения шумовых характеристик, фильтр, реализованный в прямой форме, лучше, чем в канонической.

См. также

• Электронный фильтр
• Фильтр с конечной импульсной характеристикой
• Теорема Марелье

Ссылки

• The fifth module of the BORES Signal Processing DSP course — Introduction to DSP Архивная копия от 6 июля 2012 на Wayback Machine (англ.)