База топологии

База топологии (база топологического пространства, базис топологии, открытая база) — семейство открытых подмножеств топологического пространства $X$, такое, что любое открытое множество в $X$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

Определение

Семейство ${\mathfrak {B}}$ открытых множеств топологического пространства $X$ называется базой топологии (или топологического пространства), если любое открытое множество из $X$ представимо в виде объединения элементов семейства ${\mathfrak {B}}$.

Семейство ${\mathfrak {B}}$ открытых множеств топологического пространства $X$ является базой, тогда и только тогда, когда для каждой точки $x$ пространства $X$ и её окрестности $U$ найдётся множество $V$ из ${\mathfrak {B}}$ такое, что $x\in V\subset U$.

Вес топологического пространства

Минимальная из мощностей всех баз пространства $X$ называется весом топологического пространства $X$. Вес пространства $X$ обычно обозначается $w(X)$.

Свойства

• Для каждой базы ${\mathfrak {B}}$ существует подмножество ${\mathfrak {B}}_{0}$, являющееся базой и имеющее мощность, равную весу пространства.
• Если вес пространства $X$ не более, чем счетный (то есть $X$ имеет счётную базу), то $X$ называют пространством со второй аксиомой счетности.
• В пространстве веса $\tau$ существует всюду плотное множество мощности $\leqslant \tau$.

Вариации и обобщения

• Локальная база пространства $X$ в точке $x\in X$ (база точки $x$) — семейство ${\mathfrak {B}}(x)$ окрестностей точки $x$ со свойством: для любой окрестности $O_{x}$ точки $x$ найдется элемент $V\in {\mathfrak {B}}(x)$ такой, что $x\in V\subset O_{x}$.
  • Минимум мощностей всех локальных баз пространства $X$ в точке $x\in X$ называется характером пространства $X$ в точке $x$ и обозначается $\chi (x,X)$.
  • Супремум характеров пространства $X$ во всех точках $x\in X$ называется характером пространства $X$ и обозначается $\chi (X)$.
  • Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с первой аксиомой счетности.
  • Семейство ${\mathfrak {B}}$ открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда для каждой точки $x\in X$ подсемейство ${\mathfrak {B}}(x)$ всех элементов ${\mathfrak {B}}$, содержащих точку $x$ является локальной базой точки $x$.
• Система окрестностей — это семейство $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{x\in X}$, такое, что ${\mathfrak {B}}(x)$ является локальной базой пространства $X$ в точке $x$ для каждого $x\in X$.
• Предбаза — семейство $Y$ открытых подмножеств топологического пространства $X$ такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов $Y$, образует базу пространства $X$.
• Замкнутая база — семейство всех дополнений к элементам некоторой базы.
• $\pi$-база (решёточная база) — семейство ${\mathfrak {B}}$ непустых открытых подмножеств пространства $X$ такое, что всякое непустое открытое в $X$ множество содержит множество из ${\mathfrak {B}}$, то есть ${\mathfrak {B}}$ плотно по Хаусдорфу в пространстве $X$. Любая база есть $\pi$-база. Обратное неверно, например, в компактификации Стоуна — Чеха $\beta \mathbb {N}$ множества натуральных чисел семейство одноточечных подмножеств множества $\mathbb {N}$ является $\pi$-базой, но не является базой.
• Псевдобаза — такое семейство открытых подмножеств, что пересечение всех его элементов, содержащих фиксированную точку, совпадает с этой точкой. Существует только в T₁-пространствах. Пример пространства со счётной псевдобазой, в котором нет счётной базы — пространство последовательностей нулей и единиц с дискретной топологией (псевдобаза — множества, состоящие из всех последовательностей с фиксированным значением на некоторой позиции).

Задание топологии с помощью базы, предбазы и системы окрестностей

• Семейство ${\mathfrak {B}}$ подмножеств произвольного множества $X$ является базой некоторой топологии на $X$ в том, и только в том случае, когда ${\mathfrak {B}}$ удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждая точка $x\in X$ принадлежит некоторому множеству $U$ из семейства ${\mathfrak {B}}$.
2. Для любых множеств $U,V\in {\mathfrak {B}}$ и точки $x\in U\cap V$ существует множество $W\in {\mathfrak {B}}$ такое, что $x\in W\subset U\cap V$.

В этом случае ${\mathfrak {B}}$ является базой топологии на $X$, в которой множества открыты тогда и только тогда, когда они представимы в виде объединения некоторых подмножеств из ${\mathfrak {B}}$. Такую топологию называют топологией, порождённой базой ${\mathfrak {B}}$.

• Для того, чтобы семейство ${\mathfrak {B}}$ подмножеств произвольного множества $X$ было предбазой некоторой топологии на $X$ необходимо и достаточно выполнение вышеуказанного условия 1. При этом в этой топологии открыты те и только те множества, которые представимы в виде объединения конечных пересечений некоторых подмножеств из ${\mathfrak {B}}$. Такую топологию называют топологией, порождённой предбазой ${\mathfrak {B}}$. Это наименьшая топология, содержащая семейство ${\mathfrak {B}}$.

• Совокупность $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{x\in X}$ семейств подмножеств произвольного множества $X$ является системой окрестностей некоторой топологии на $X$ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:

1. Для каждого $x\in X$ семейство ${\mathfrak {B}}(x)$ непусто и $x\in U$ для любого $U\in {\mathfrak {B}}(x)$.
2. Для всякого $y\in U\in {\mathfrak {B}}(x)$ найдётся $V\in {\mathfrak {B}}(y)$ такое, что $V\subset U$.
3. Для всяких множеств $V,W\in {\mathfrak {B}}(x)$ существует $U\in {\mathfrak {B}}(x)$, такое, что $U\subset V\cap W$.

В этом случае $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{x\in X}$ является системой окрестностей топологии на $X$, состоящей из всех подмножеств, представимых в виде объединения подсемейств семейства $\bigcup _{x\in X}{\mathfrak {B}}(x)$. Такую топологию называют топологией, порождённой системой окрестностей $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{x\in X}$.

Примеры

• Базой любого топологического пространства является семейство всех его открытых множеств.
• Дискретная топология имеет в качестве базы семейство всех его одноточечных подмножеств.
• Если $X$ и $Y$ — топологические пространства с базами топологий ${\mathfrak {B}}_{X}$ и ${\mathfrak {B}}_{Y}$, тогда топология на декартовом произведении $X\times Y$ задаётся с помощью базы

${\mathfrak {B}}_{X\times Y}=\{U\times V\,:U\in {\mathfrak {B}}_{X},\,V\in {\mathfrak {B}}_{Y}\}$
При этом топология на $X\times Y$ не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.

• Топология пространства действительных чисел $\mathbb {R}$ задаётся системой всех интервалов $(a,b)$, которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства ${\mathbb {R} }^{n}$ задаётся базой открытых брусов $(a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})\times \dots \times (a_{n},b_{n})$, и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.
• Упорядоченная топология обычно определяется как топология порождённая набором открыто-интервальных множеств.
• Метрическая топология обычно определяется как топология порождённая набором открытых шаров, задаваемых определенной метрикой.

См. также

• Теорема Есенина-Вольпина
• Склеивающая аксиома
• Нижняя часть базы

Литература

• Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций. — М.—Л., 1948.
• Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. — Т. 1—2. — М.—Л., 1951.
• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — М., 1973.
• Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. — М., 1974.
• Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры / Пер. с франц. — М., 1968.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.

Ссылки

• База топологии — статья из Математической энциклопедии. А. А. Мальцев