Внешняя алгебра

Не следует путать с грассманианом.

Ориентация, определяемая упорядоченным набором векторов

Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством $V$ обычно обозначается ${\textstyle \bigwedge }V$. Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.

Определение и связанные понятия

Внешней алгеброй ${\textstyle \bigwedge }V$ векторного пространства $V$ над полем $K$ называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры $T(V)$ по двустороннему идеалу $I$, порождённому элементами вида $x\otimes x,x\in V$:

${\textstyle \bigwedge }V=T(V)/I$.

Если характеристика поля $\operatorname {char} (K)\neq 2$, то идеал $I$ в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида $x\otimes y+y\otimes x$.

Умножение $\wedge$ в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:

$x\wedge y=-(y\wedge x).$

k-й внешней степенью пространства $V$ называют векторное пространство $\wedge ^{k}V$, порождённое элементами вида

$x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k,$

причём $\dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,$ и ${\textstyle \bigwedge }^{k}V$ = { 0 } при k > n.

Если $\dim V=n$ и { e₁, …, e_n } — базис $V$, то базисом ${\textstyle \bigwedge }^{k}V$ является множество

$\{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2,\cdots ,n~~{\text{ и }}~~1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n\,\}.$

Тогда

${\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),$

причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если $\alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{k}\left(V\right)$ и $\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{p}\left(V\right)$, то

$\alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in {\textstyle \bigwedge }^{k+p}\left(V\right).$

Свойства

• Элементы пространства ${\textstyle \bigwedge }^{r}V$ называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над $V,$ с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
  • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:

    $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.$

  • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу

    $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.$

• Внешний квадрат произвольного вектора $\omega \in \wedge ^{1}V$ нулевой:

$\omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.$

• Для r-векторов при чётном r это неверно. Например

$(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.$

• Линейно независимые системы из $r$-векторов $x_{1},\dots ,x_{r}$ и $y_{1},\dots ,y_{r}$ из $V$ порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда $r$-векторы $x_{1}\wedge \dots \wedge x_{r}$ и $y_{1}\wedge \dots \wedge y_{r}$ пропорциональны.

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
• Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.
• Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — М.: Наука, 1977.

См. также

• Алгебра Клиффорда
• Тензорная алгебра
• Симметрическая алгебра
• Поливектор