Фазовая манипуляция

Модулирующий сигнал, несущая и фазоманипулированный сигнал системы спутниковой навигации NAVSTAR GPS

Фа́зовая манипуля́ция (ФМн, англ. phase-shift keying (PSK)) — один из видов фазовой модуляции, при которой фаза несущего колебания меняется скачкообразно в зависимости от информационного сообщения.

Описание

Фазоманипулированный сигнал имеет следующий вид:

$s_{m}(t)=g(t)\cos[2\pi f_{c}t+\varphi _{m}(t)],$

где $g(t)$ определяет огибающую сигнала; $\varphi _{m}(t)$ является модулирующим сигналом. $\varphi _{m}(t)$ может принимать $M$ дискретных значений. $f_{c}$ — частота несущей; $t$ — время.

Если $M=2$, то фазовая манипуляция называется двоичной фазовой манипуляцией (BPSK, B-Binary — 1 бит на 1 смену фазы), если $M=4$ — квадратурной фазовой манипуляцией (QPSK, Q-Quadro — 2 бита на 1 смену фазы), $M=8$ (8-PSK — 3 бита на 1 смену фазы) и т. д. Таким образом, количество бит $n$, передаваемых одним перескоком фазы, является степенью, в которую возводится двойка при определении числа фаз, требующихся для передачи $n$-порядкового двоичного числа.

Фазоманипулированный сигнал $s_{i}(t)$ можно рассматривать как линейную комбинацию двух ортонормированных сигналов $y_{1}$ и $y_{2}$:

$S_{m}(t)=S_{1}Y_{1}+S_{2}Y_{2},$

где

$Y_{1}(t)={\sqrt {\frac {2}{E_{g}}}}S_{1}(t)\cos[2\pi f_{c}t],$

$Y_{2}(t)=-{\sqrt {\frac {2}{E_{g}}}}S_{2}(t)\sin[2\pi f_{c}t].$

Таким образом, сигнал $S_{m}(t)$ можно считать двухмерным вектором с координатами $[S_{1}(m,\;M);\;\;S_{2}(m,\;M)]$. Если значения $S_{1}(m,\;M)$ отложить по горизонтальной оси, а значения $S_{2}(m,\;M)$ — по вертикальной, то точки с координатами $S_{1}(m,\;M)$ и $S_{2}(m,\;M)$ будут образовывать пространственные диаграммы, показанные на рисунках.

• 
  Двоичная фазовая манипуляция (BPSK)
• 
  Квадратурная фазовая манипуляция (QPSK)
• 
  Восьмеричная фазовая манипуляция (8-PSK)

Двоичная фазовая манипуляция

Фазовое созвездие для двоичной ФМн

Осциллограммы сигналов при двоичной фазовой демодуляции

Двоичная фазовая манипуляция (англ. BPSK — binary phase-shift keying или 2-PSK) — самая простая форма фазовой манипуляции. Работа схемы двоичной ФМн заключается в смещении фазы несущего колебания на одно из двух значений, нуль или $\pi$ (180°). Двоичную фазовую манипуляцию можно также рассматривать как частный случай квадратурной манипуляции (QAM-2).

Когерентное детектирование

Вероятность ошибки на бит (BER) в зависимости от Eb/N0

Эта модуляция является самой помехоустойчивой из всех видов ФМн, то есть при использовании бинарной ФМн вероятность ошибки при приёме данных наименьшая (Сразу после кода Манчестер-2). Однако каждый символ несёт только 1 бит информации, что обуславливает наименьшую в этом методе модуляции скорость передачи информации.

Вероятность ошибки на бит (англ. BER — Bit Error Rate) при бинарной ФМн в канале с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) может быть вычислена по формуле:

$P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right),$

где

$Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt.$

Так как на символ приходится 1 бит, то по этой же формуле вычисляется и вероятность ошибки на символ.

В присутствии произвольного изменения фазы, введенного каналом связи, демодулятор не способен определить, какая точка созвездия соответствует 1 и 0. В результате данные часто дифференциально кодируются до модуляции.

Некогерентное детектирование

В случае некогерентного детектирования используется дифференциальная двоичная фазовая манипуляция.

Реализация

Двоичные данные часто передаются со следующими сигналами:

$s_{0}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)$ для двоичного «0»;

$s_{1}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t+\pi )=-{\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi f_{c}t)$ для двоичной «1»,

где $f_{c}$ — частота несущего колебания.

Квадратурная фазовая манипуляция

Фазовое созвездие для квадратурной ФМн.

При квадратурной фазовой манипуляции (англ. QPSK — quadrature phase-shift keying или 4-PSK) используется созвездие из четырёх точек, размещённых на равных расстояниях на окружности. Используя 4 фазы, в QPSK на символ приходится два бита, как показано на рисунке. Анализ показывает, что скорость может быть увеличена в два раза относительно BPSK при той же полосе сигнала, либо позволяет оставить скорость прежней, но уменьшить полосу вдвое.

Хотя QPSK можно считать квадратурной манипуляцией (QAM-4), иногда её проще рассматривать в виде двух независимых модулированных несущих, сдвинутых на 90°. При таком подходе чётные (нечётные) биты используются для модуляции синфазной составляющей $I$, а нечётные (чётные) — квадратурной составляющей несущей $Q$. Так как BPSK используется для обеих составляющих несущей, то они могут быть демодулированы независимо.

Когерентное детектирование

При когерентном детектировании вероятность ошибки на бит для QPSK такая же, как и для BPSK:

$P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right).$

Однако, так как в символе два бита, то значение символьной ошибки возрастает:

$P_{s}=1-(1-P_{b})^{2}=2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)-Q^{2}\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right).$

При высоком отношении сигнал/шум (это необходимо для реальных QPSK систем) вероятность символьной ошибки может быть оценена приблизительно по следующей формуле:

$P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right).$

Некогерентное детектирование

Как и при BPSK, существует проблема неопределённости начальной фазы в приёмнике. Поэтому при некогерентном детектировании QPSK с дифференциальным кодированием на практике используется чаще.

Отличие QPSK от первых видов модуляции (АМн, ЧМн) в том, что плотность передаваемой информации в расчёте на частотную ширину канала (на символ, на герц) выше единицы.

Например, в АМн плотность много меньше единицы (0,1—0,001 бит/Гц) — это связано с необходимостью накопления энергии в фильтрах в первых малочувствительных приёмниках. В ЧМн этот показатель приближается к единице (0,1—1) бит/символ (бит/Гц). Например, в GMSK, применяемом в GSM, плотность информации равняется 1.

Этот вид модуляции используется, например, в стандарте сотовой связи CDMA2000 1X EV-DO.

π/4-QPSK

Здесь изображены два отдельных созвездия, использующие кодирование Грея, которые повёрнуты на 45° относительно друг друга. Обычно, чётные и нечётные биты используются для определения точек соответствующего созвездия. Это приводит к уменьшению максимального скачка фазы с 180° до 135°.

Фазовое созвездие для квадратурной π/4 ФМн.

С другой стороны, использование π/4-QPSK приводит к простой демодуляции и вследствие этого она используется в системах сотовой связи с временным разделением каналов.

Сравнение OQPSK и QPSK

ФМн более высоких порядков

Фазовое созвездие для восьмеричной ФМн

ФМн с порядком больше 8 используют редко. Главным тормозящим фактором дальнейшего увеличения информационной емкости одной посылки сигнала является снижение помехозащищенности сигнала. Если фазовое расстояние между соседними символами уменьшается, то ошибка может быть создана меньшей по мощности помехой.

Дифференциальная ФМн

При реализации PSK может возникнуть проблема поворота созвездия, например, в непрерывной передаче без синхронизации. Для решения подобной проблемы может быть использовано кодирование, основанное не на положении фазы, а на её изменении.

В частности, для DBPSK фаза изменяется на 180° для передачи «1» и остается неизменной для передачи «0».

Литература

• Прокис, Дж. Цифровая связь = Digital Communications / Кловский Д. Д.. — М.: Радио и связь, 2000. — 800 с. — ISBN 5-256-01434-X.
• Скляр, Бернард. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение = Digital Communications: Fundamentals and Applications. — 2 изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 1104. — ISBN 0-13-084788-7.
• Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра = Wireless Digital Communications: Modulation and Spread Spectrum Applications. — М.: Радио и связь, 2000. — 552 с. — ISBN 5-256-01444-7.

Ссылки

• Сигналы с двоичной фазовой манипуляцией (BPSK). Дифференциальная BPSK (DBPSK)
• Очерк А. Б. Сергиенко «Цифровая модуляция»