Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

Доверительный интервал для математического ожидания — интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности.

Случай известной дисперсии

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\sigma ^{2}$ — известная дисперсия. Определим произвольное $\alpha \in [0,1]$ и построим доверительный интервал для неизвестного среднего $\mu$.

Утверждение. Случайная величина

$Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

имеет стандартное нормальное распределение $\mathrm {N} (0,1)$. Пусть $z_{\alpha }$ — это $\alpha$-квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

$\mathbb {P} \left(-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq Z\leq z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha$.

После подстановки выражения для $Z$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb {P} \left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$.

Случай неизвестной дисперсии

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu ,\sigma ^{2}$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего $\mu$.

Утверждение. Случайная величина

$T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}$,

где $S$ — несмещённое выборочное стандартное отклонение, имеет распределение Стьюдента с $n-1$ степенями свободы $\mathrm {t} (n-1)$. Пусть $t_{\alpha ,n-1}$ — $\alpha$-квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

$\mathbb {P} \left(-t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}\leq T\leq t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}\right)=1-\alpha$.

После подстановки выражения для $T$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb {P} \left({\bar {X}}-t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+t_{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$.