Конгруэнция

Конгруэнцией в общей алгебре называют отношение эквивалентности на алгебраической структуре (такой как группа, кольцо или векторное пространство), согласующееся с алгебраическими операциями, определёнными на указанной структуре. Согласованность означает, что выполнение операций над эквивалентными (относительно конгруэнции) элементами структуры даст также эквивалентные элементы. Понятие играет важную роль в универсальной алгебре: всякая конгруэнция порождает соответствующую фактор-структуру со сходными операциями, носителем которой будет фактормножество, чьи элементы — классы эквивалентности исходной структуры по отношению к конгруэнции.

Основным примером конгруэнции является отношение сравнимости по модулю на множестве целых чисел. При заданном натуральном n (называемом модулем) говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю n, если разность a – b делится на n или, что равносильно, a и b дают при делении на n равные остатки. Если числа a и b сравнимы по некоторому модулю n это обозначается a ≡ b (mod n). Например, числа 37 и 57 сравнимы по модулю 10 (37 ≡ 57 (mod 10)), поскольку 37 – 57 = −20 делится на 10 (это эквивалентно тому, что 37 и 57 дают при делении на 10 один и тот же остаток 7). Свойства сравнимости по модулю показывают, что, во-первых, сравнимость — отношение эквивалентности, и, во-вторых, что оно согласовано как со сложением так и с умножением целых чисел: если a₁ ≡ b₁ (mod n) и a₂ ≡ b₂ (mod n), то a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂ (mod n) и a₁ · a₂ ≡ b₁ · b₂ (mod n) для любых целых a₁ , a₂ , b₁ , b₂. Это значит, что над соответствующими классами эквивалентности — классами вычетов (по модулю n) — также выполнимы операции сложения и умножения, составляющие так называемую модульную арифметику: [a]_n + [b]_n = [a + b]_n , [a]_n · [b]_n = [a · b]_n ([x]_n — класс целых чисел, сравнимых с числом x по модулю n). С точки зрения абстрактной алгебры это будет звучать так: сравнимость по модулю n есть конгруэнция на кольце целых чисел $\mathbb {Z}$, порождающая фактор-кольцо $\mathbb {Z} {\mathord {/}}n\mathbb {Z}$ — конечное кольцо вычетов по модулю n, — на котором выполняются операции модульной арифметики.

Определение

Отношение $\theta (x_{1},\ldots ,x_{m})$ на множестве $A$ называется стабильным относительно $n$-арной операции $f$, определённой на этом множестве, если для любых элементов $a_{i1},\ldots ,a_{im}$ ($i=1,\ldots ,n$) множества $A$ из истинности отношений $\theta (a_{i1},\ldots ,a_{im})$ ($i=1,\ldots ,n$) вытекает истинность отношения $\theta (f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))$.

Отношение $\theta$ называется конгруэнцией на алгебраической системе ${\mathfrak {A}}$, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы ${\mathfrak {A}}$. (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы ${\mathfrak {A}}$.)

Факторсистема

Основная статья: Факторсистема

Для алгебраической системы ${\mathfrak {A}}=(A,{\mathit {\Phi }},{\mathit {\mathrm {P} }})$ на фактормножестве $A/\theta$ по конгруэнции $\theta \subseteq A^{2}$ для всех операций $f_{i}\in {\mathit {\Phi }}$ и отношений $r_{i}\in {\mathit {\mathrm {P} }}$ естественным образом вводятся операции и отношения над соответствующими классами смежности:

$f_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{n}]_{\theta })=[f_{i}(a_{1},\dots ,a_{n})]_{\theta }$,

$r_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{m}]_{\theta })\Leftrightarrow \exists (b_{1}\in [a_{1}]_{\theta },\dots ,b_{m}\in [a_{m}]_{\theta })r_{i}(b_{1},\dots ,b_{m})$.

Получающаяся система обозначается ${\mathfrak {A}}/\theta$ и называется факторсистемой, а отображение $h_{\theta }\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}/\theta$, определяемое правилом $h_{\theta }(a)=[a]_{\theta }$ — каноническим эпиморфизмом.

Множество всех конгруэнций данной системы $\mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})$ образует полную решётку относительно операций объединения и пересечения, а также задает отношение включения:

$\theta _{1}\leqslant \theta _{2}\Leftrightarrow \forall a,b\in A\,a\,\theta _{1}\,b\to a\,\theta _{2}\,b$.

Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы $\{\theta _{i},i\in I\}\subseteq \mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})$ имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

${\mathcal {A}}/\bigcap _{i\in I}{\theta _{i}}\hookrightarrow \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}/\theta _{i}}$.

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Мальцев, А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.