Конечнопорождённый идеал

Конечнопорождённым идеалом $I$ ассоциативного кольца $R$ называется такой идеал, который порождается конечным числом своих элементов.

В случае, когда $R$ — кольцо с единицей, конечнопорождённость для одностороннего (например, правого) идеала $I$ кольца $R$ означает, что существует конечное множество элементов $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ таких, что любой элемент из $I$ представим в виде суммы $i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n}$, где $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ — какие-то элементы кольца. Это определение полностью соответствует определению конечнопорождённого модуля над кольцом, если рассматривать правый идеал $I$ как правый модуль над кольцом $R$. Соответственно, двусторонний идеал будет конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ таких, что любой элемент из $I$ представим в виде суммы $a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n}$, где $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}\in R$  — какие-то элементы кольца $R$.

В общем случае, когда кольцо $R$ не обязательно содержит единицу, правый идеал является конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ таких, что любой элемент из $I$ представим в виде суммы $i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n}$, где $a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ — какие-то элементы кольца, $m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z}$. Двусторонний идеал называется конечнопорождённым, если существует конечное множество элементов $i_{1},\ldots ,i_{n}\in I$ таких, что любой элемент из $I$ представим в виде суммы $a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n}+c_{1}i_{1}+\ldots +c_{n}i_{n}+i_{1}d_{1}+\ldots +i_{n}d_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n}$, где $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n},d_{1},\ldots ,d_{n}\in R$ — какие-то элементы кольца $R$, $m_{1},\ldots ,m_{n}\in \mathbb {Z}$.

См. также

• Идеал