Теорема Хартогса

Теорема Хартогса — утверждение о достаточных условиях аналитичности функции нескольких комплексных переменных. В случае нескольких комплексных переменных достаточным условием аналитичности является аналитичность по каждому переменному. Для функций действительных переменных это неверно: функция $f(x,y)={\frac {xy}{(x^{2}+y^{2})}},f(0,0)=0$ бесконечно дифференцируема по $x$ (или $y$) когда $y$ (или $x$) является фиксированным, но $f$ даже не является непрерывной в начале координат.

Формулировка

Если комплекснозначная функция $F$ определена в открытом множестве $\Omega$ $n$-мерного комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ и аналитическая по каждому переменному $z_{j}$, когда другие переменные фиксированы, то функция $F$ является аналитической в $\Omega$.

История

При дополнительном предположении непрерывности, это утверждение иногда называется леммой Осгуда, её доказал Вильям Осгуд

Литература

• Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — М.: Мир, 1968. — 280 с.