Метод фазовых функций

Метод фазовых функций — метод решения задач квантовой механики. Основан на понятии фазовой функции, имеющей ясный физический смысл. При рассмотрении движения элементарной частицы в потенциальном поле, если за начало системы отсчёта $R=0$ принять центр рассеивающего потенциала, то фазовая функция в точке $r$ равна фазе рассеяния на части потенциала, содержащейся в шаре радиуса $r$.

Фазовая и амплитудная функции

Рассмотрим рассеяние частицы без спина на сферически-симметричном потенциале $V(r)$. Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции $u_{l}(r)$ имеет вид:

${\frac {d^{2}}{dr^{2}}}u_{l}(r)+{\Bigl [}k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}-V(r){\Bigr ]}u_{l}(r)=0$ (1).

Здесь $k^{2}$ — значение энергии частицы, $l$ — значение орбитального момента частицы.

Решение этого уравнения имеет вид:

$u_{l}(r)\approx C[j_{l}(kr)-\tan \delta _{l}n_{l}(kr)]$

или

$u_{l}(r)\rightarrow Csin(kr-{\frac {l\pi }{2}}+\delta _{l}),r\rightarrow \infty$.

Здесь $j_{l}(kr)$ и $n_{l}(kr)$ — функции Риккати-Бесселя.

Введём в рассмотрение фазовую функцию $\delta _{l}(r)$ и амплитудную функцию $A_{l}(r)$, исходя из двух условий:

$u_{l}(r)=A_{l}(r)[\cos \delta _{l}(r)j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r)n_{l}(kr)]$ (2)

и

${\frac {d}{dr}}u_{l}(r)=A_{l}(r)[\cos \delta _{l}(r){\frac {d}{dr}}j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r){\frac {d}{dr}}n_{l}(kr)]$ (3).

Второе условие равносильно

${\frac {dA_{l}}{dr}}[\cos \delta _{l}j_{l}-\sin \delta _{l}n_{l}]-{\frac {d\delta _{l}}{dr}}A_{l}[\sin \delta _{l}j_{l}+\cos \delta _{l}n_{l}]=0$.

Продифференцировав уравнение $(3)$, подставим выражение для второй производной $u_{l}$ вместе с уравнением $(2)$ в уравнение Шредингера $(1)$. Получим уравнение для фазовой функции $\delta _{l}(r)$:

${\frac {d}{dr}}\delta _{l}(r)=-{\frac {1}{k}}V(r)[\cos \delta _{l}(r)j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r)n_{l}(kr)]^{2}$ (4)

и начальное условие:

$\delta _{l}(0)=0$ (4).

Аналогичным образом можно получить уравнение для амплитудной функции:

${\frac {d}{dr}}A_{l}(r)=-{\frac {1}{k}}A_{l}(r)V(r)[\cos \delta _{l}(r)j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r)n_{l}(kr)][\sin \delta _{l}(r)j_{l}(kr)+\cos \delta _{l}(r)n_{l}(kr)]$ (5).

Фазовое уравнение $(4)$ отражает связь фазы рассеяния с потенциалом. Оно является уравнением Риккати первого порядка и удобно для применения численных методов вычислений. На основе метода фазовых функций также можно вычислять амплитуды рассеяния, элементы S-матрицы, параметры рассеяния, энергии связанных состояний, функции Грина, коэффициенты прохождения через потенциальный барьер.

Литература

• Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. — М.: Наука, 1976. — С. 287.
• Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1967.
• Герштейн С. С., Пономарёв Л. И. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1971.
• Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. — М.: Мир, 1972. — С. 292.