Полупрямое произведение

Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам $H$ и $N$, и действию $\phi$ группы $H$ на группе $N$ автоморфизмами.

Полупрямое произведение групп $N$ и $H$ над $\phi$ обычно обозначается $N\rtimes _{\phi }H$.

Конструкция

Пусть задано действие группы $H$ на пространстве группы $N$ с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм $\phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)$ группы $H$ в группу автоморфизмов группы $N$. Автоморфизм группы $N$, соответствующий элементу $h$ из $H$ при гомоморфизме $\phi$, обозначим $\phi _{h}$. За множество элементов полупрямого произведения $G=N\rtimes _{\phi }H$ групп $H$ и $N$ над гомоморфизмом $\phi$ — берётся прямое произведение $N\times H$. Бинарная операция $*$ на $G$ определяется по следующему правилу:

$(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\cdot \phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}\cdot h_{2})$ для любых $n_{1},n_{2}\in N$, $h_{1},h_{2}\in H$.

Свойства

1. Группы $H$ и $N$ естественно вложены в $G$, причём $N$ — нормальная подгруппа в $G$.
2. Каждый элемент $g\in G$ однозначно разложим в произведение $g=nh$, где $h$ и $n$ — элементы групп $H$ и $N$ соответственно. (Это свойство оправдывает название группы $G$ как полупрямого произведения групп $H$ и $N$.)
3. Заданное действие $\phi$ группы $H$ на группе $N$ совпадает с действием $H$ на $N$ сопряжениями (в группе $G$).

Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе $G$ (свойство универсальности полупрямого произведения групп).

Обоснование

• Ассоциативность операции проверяется непосредственно. Используются соотношения

$\phi _{h_{1}}\circ \phi _{h_{2}}(n)=\phi _{h_{1}h_{2}}(n)$ и $\phi _{h}(n_{1})\phi _{h}(n_{2})=\phi _{h}(n_{1}n_{2})$.

• Единицей группы G служит элемент $(1_{N},1_{H})$, где $1_{N}$ и $1_{H}$ - единицы в группах N и H соответственно.
  (Используется равенство $\phi _{1_{H}}(n)=n$.)
• Элемент, обратный к $(n,h)$, равен $(\,\phi _{h}^{-1}(n^{-1}),h^{-1})$.
  • Для доказательства того, что этот элемент обратен слева, используется равенство $\phi _{h}^{-1}(n^{-1})=\phi _{h^{-1}}(n)^{-1}$.
• Отображения $n\mapsto (n,1_{H})$ и $h\mapsto (1_{N},h)$ гомоморфно вкладывают группы N и H в группу G. Их образы имеют единственный общий элемент - единицу группы G.
• Отображение $(n,h)\mapsto h$ есть эпиморфизм группы G на группу H с ядром N. Отсюда следует, что группа N нормальна в G.
• Равенство $(n,h)=(n,1)*(1,h)$ даёт разложение произвольного элемента группы G в произведение элементов n и h из групп N и H соответственно. Из этого же равенства следует и единственность разложения.
• Равенство $(\phi _{h}(n),1)=(1,h)(n,1)(1,h)^{-1}$ показывает, что действие группы H на N, задаваемое гомоморфизмом $\phi$ совпадает с действием H на N сопряжениями.
• Чтобы доказать универсальное свойство полупрямого произведения, надо воспользоваться формулой $(n_{1}h_{1})\cdot (n_{2}h_{2})=n_{1}(h_{1}n_{2}h_{1}^{-1})\cdot (h_{1}h_{2})$.
  Из неё следует, что произведение в группе G с однозначным NH-разложением (при условии нормальности группы N) полностью определяется правилами умножения внутри подгрупп N и H и правилами сопряжения элементов из N элементами из H.

Пример

Группа вычетов по модулю 4 ($\mathbb {Z} _{4}$) действует на $\mathbb {Z} _{5}$ (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:

$\phi _{h}(n)=a^{h}n$, где $a$ — фиксированный ненулевой элемент $\mathbb {Z} _{5}$, $h\in \mathbb {Z} _{4}$, $n\in \mathbb {Z} _{5}$.

Соответственно, на множестве $\mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}$ можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:

1. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+n_{2},h_{1}+h_{2})$, где $a=1$;
2. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$, где ${a=4\equiv -1}{\pmod {5}}$;
3. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+2^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$;
4. $(n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+3^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})$;

Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).

Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.