Почти всюду

Почти всюду обычно означает за исключением множества меры нуль. Точнее, если утверждение зависит от точки в пространстве с мерой, то говорят, что оно выполнено почти всюду, если оно выполняется для всех точек за исключением точек в некотором множестве меры нуль.

Часто используется сокращение, п.в. для почти всюду или a.e. от англ. almost everywhere. Например для функций $f$ и $h$ выражения

$f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}h\qquad {\text{или}}\qquad f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{а.е}}}h$

означают, что равенство $f(x)=h(x)$ выполняется при почти всех значениях переменной $x$.

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство с мерой. Обозначим символом $T$ множество точек из $X$, для которых верно некоторое утверждение ${\mathcal {A}}$. Говорят, что утверждение ${\mathcal {A}}$ выполнено почти всюду (п.в.), если

$(X\setminus T)\subset A,\mu (A)=0$

Замечания

• Множество, на котором условие не выполнено, не всегда является измеримым.
• Если пространство с мерой является вероятностным пространством, то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» или «почти наверняка» (см. статью «почти достоверное событие»).

Примеры

• Функция Дирихле равна нулю почти всюду, ибо $m(\mathbb {Q} )=0$, где $m$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$.
• Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.

См. также

• Сходимость почти всюду