Предел вдоль фильтра (предел по базису фильтра, предел по базе ) — обобщение понятия предела .
Пусть дано множество
X
.
{\displaystyle X.}
B
{\displaystyle {\mathfrak {B}}}
X
{\displaystyle X}
базисом фильтра (базой) множества
X
{\displaystyle X}
для любого
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}
B
≠
∅
;
{\displaystyle B\neq \varnothing ;}
для любых
B
1
,
B
2
∈
B
{\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}}
B
3
∈
B
{\displaystyle B_{3}\in {\mathfrak {B}}}
B
3
⊂
B
1
∩
B
2
.
{\displaystyle B_{3}\subset B_{1}\cap B_{2}.}
Везде далее
B
{\displaystyle {\mathfrak {B}}}
X
{\displaystyle X}
Пусть
f
:
X
→
R
{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
A
∈
R
{\displaystyle A\in \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
B
,
{\displaystyle {\mathfrak {B}},}
для любого
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}
x
∈
B
{\displaystyle x\in B}
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
.
{\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon .}
Обозначение предела по базе:
lim
B
f
(
x
)
=
A
.
{\displaystyle \lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=A.}
Пусть
(
M
,
ρ
)
{\displaystyle (M,\rho )}
метрическое пространство и
f
:
X
→
M
{\displaystyle f:X\to M}
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
f
{\displaystyle f}
B
,
{\displaystyle {\mathfrak {B}},}
для любого
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}
x
∈
B
{\displaystyle x\in B}
ρ
(
f
(
x
)
,
a
)
<
ε
.
{\displaystyle \rho (f(x),a)<\varepsilon .}
Обозначение:
lim
B
f
(
x
)
=
a
.
{\displaystyle \lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.}
Пусть
(
M
,
T
)
{\displaystyle (M,{\mathcal {T}})}
топологическое пространство и
f
:
X
→
M
{\displaystyle f\colon X\to M}
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
f
{\displaystyle f}
B
,
{\displaystyle {\mathfrak {B}},}
для любой окрестности
V
{\displaystyle V}
a
{\displaystyle a}
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}
f
(
B
)
⊂
V
{\displaystyle f(B)\subset V}
x
∈
B
{\displaystyle x\in B}
f
(
x
)
∈
V
{\displaystyle f(x)\in V}
Обозначение:
lim
B
f
(
x
)
=
a
.
{\displaystyle \lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.}
Замечание. Последнее «равенство» корректно использовать лишь в случаях, когда пространство
(
M
,
T
)
{\displaystyle (M,{\mathcal {T}})}
хаусдорфово . Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).
Пусть
(
X
,
T
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}
топологическое пространство , и
M
⊂
X
.
{\displaystyle M\subset X.}
a
∈
M
′
.
{\displaystyle a\in M'.}
B
=
{
M
∩
U
˙
≡
M
∩
U
∖
{
a
}
∣
a
∈
U
∈
T
}
{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{M\cap {\dot {U}}\equiv M\cap U\setminus \{a\}\mid a\in U\in {\mathcal {T}}\right\}}
является базисом фильтра множества
M
{\displaystyle M}
M
∋
x
→
a
{\displaystyle M\ni x\to a}
x
→
a
.
{\displaystyle x\to a.}
x
→
a
{\displaystyle x\to a}
M
{\displaystyle M}
a
{\displaystyle a}
lim
x
→
a
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)}
Пусть
M
⊂
R
,
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}
a
∈
(
M
∩
(
a
,
∞
)
)
′
.
{\displaystyle a\in {\bigl (}M\cap (a,\infty ){\bigr )}'.}
B
=
{
(
a
,
a
+
δ
)
∩
M
∣
δ
>
0
}
{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}}
является базисом фильтра и обозначается
x
→
a
+
{\displaystyle x\to a+}
x
→
a
+
0.
{\displaystyle x\to a+0.}
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to a+}f(x)}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
a
.
{\displaystyle a.}
Пусть
M
⊂
R
,
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}
a
∈
(
M
∩
(
−
∞
,
a
)
)
′
.
{\displaystyle a\in {\bigl (}M\cap (-\infty ,a){\bigr )}'.}
B
=
{
(
a
−
δ
,
a
)
∩
M
∣
δ
>
0
}
{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}}
является базисом фильтра и обозначается
x
→
a
−
{\displaystyle x\to a-}
x
→
a
−
0.
{\displaystyle x\to a-0.}
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to a-}f(x)}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
a
.
{\displaystyle a.}
Пусть
M
⊂
R
,
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}
sup
M
=
∞
.
{\displaystyle \sup M=\infty .}
B
=
{
M
∩
(
T
,
∞
)
∣
T
∈
R
}
.
{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{M\cap (T,\infty )\mid T\in \mathbb {R} \}.}
является базисом фильтра и обозначается
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
x
→
+
∞
.
{\displaystyle x\to +\infty .}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }f(x)}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
Пусть
M
⊂
R
,
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}
inf
M
=
−
∞
.
{\displaystyle \inf M=-\infty .}
B
=
{
M
∩
(
−
∞
,
T
)
∣
T
∈
R
}
.
{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{M\cap (-\infty ,T)\mid T\in \mathbb {R} \}.}
является базисом фильтра и обозначается
x
→
−
∞
.
{\displaystyle x\to -\infty .}
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
Система множеств
B
=
{
B
n
}
n
=
1
∞
,
{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty },}
B
n
=
{
n
,
n
+
1
,
n
+
2
,
…
}
n
∈
N
,
{\displaystyle B_{n}=\{n,n+1,n+2,\ldots \}\quad n\in \mathbb {N} ,}
является базисом фильтра и обозначается
n
→
∞
.
{\displaystyle n\to \infty .}
n
∈
N
↦
f
n
∈
R
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \mapsto f_{n}\in \mathbb {R} }
lim
n
→
∞
f
n
{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}}
Основная статья:
Интеграл Римана Пусть
f
:
[
a
,
b
]
⊂
R
→
R
.
{\displaystyle f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
T
=
(
{
a
=
x
0
,
x
1
,
⋯
,
x
n
−
1
,
x
n
=
b
}
,
{
ξ
1
,
ξ
2
,
⋯
,
ξ
n
}
)
,
{\displaystyle T=(\{a=x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n-1},x_{n}=b\},\{\xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}\}),}
∀
i
∈
{
1
,
⋯
,
n
}
x
i
−
1
<
x
i
∧
ξ
i
∈
[
x
i
−
1
,
x
i
]
.
{\displaystyle \forall i\in \{1,\cdots ,n\}\ \ x_{i-1}<x_{i}\land \xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}].}
T
{\displaystyle T}
d
(
T
)
=
max
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
(
x
i
−
x
i
−
1
)
.
{\displaystyle d(T)=\max \limits _{i\in \{1,\ldots ,n\}}(x_{i}-x_{i-1}).}
B
=
{
B
δ
}
δ
>
0
,
{\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{B_{\delta }\}_{\delta >0},}
B
δ
=
{
T
∈
T
∣
d
(
T
)
<
δ
}
{\displaystyle B_{\delta }=\{T\in {\mathfrak {T}}\mid d(T)<\delta \}}
является базисом фильтра в пространстве
T
{\displaystyle {\mathfrak {T}}}
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
S
f
:
T
→
R
{\displaystyle S_{f}:{\mathfrak {T}}\to \mathbb {R} }
S
f
(
T
)
=
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
,
T
∈
T
.
{\displaystyle S_{f}(T)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1}),\quad T\in {\mathfrak {T}}.}
Тогда предел
lim
B
S
f
(
T
)
{\displaystyle \lim \limits _{\mathfrak {B}}S_{f}(T)}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах), — М. : Высшая школа, т. II — 584 с. — 1981.
![{\displaystyle f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/ruwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/bada51108a3f44e79ed5224741286fc4a5a904ad)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/ruwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \forall i\in \{1,\cdots ,n\}\ \ x_{i-1}<x_{i}\land \xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}].}](https://wikimedia.org/ruwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4c469cb2e7f582b44417e96e9c88ab1308d31b)
![{\displaystyle [a,b].}](https://wikimedia.org/ruwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5cb29655f824ce80a0b6a32d9326d0e8742cd)
