Преобразование Радона

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 года.

Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.

Двумерное преобразование Радона

Двумерное преобразование Радона. В данном случае R(s,α) есть интеграл от f(x, y) вдоль прямой AA^'

Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.

Пусть $f(x,y)$ функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции $f(x,y)$ называется функция

$R(s,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \alpha )dz$ (1)

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору ${\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ и проходящей на расстоянии $s$ (измеренного вдоль вектора ${\vec {n}}$, с соответствующим знаком) от начала координат.

Связь преобразования Радона и преобразования Фурье. Формула обращения

Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции $f(x,y)$

$F(k_{x},k_{y})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy$ (2)

Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой, перпендикулярной вектору ${\vec {k}}=(k_{x},k_{y})$, и изменяется наиболее быстро, если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим ${\vec {k}}=(k_{x},k_{y})=\omega (\cos \alpha ,\sin \alpha )$, мы выберем новые переменные $s=x\cos \alpha +y\sin \alpha ,$ $z=-x\sin \alpha +y\cos \alpha$. Сделав замену переменных в интеграле, получаем

$F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \alpha )e^{-i\omega s}dz\right)ds$

то есть

$F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}R(s,\alpha )ds$ (3)

Таким образом, одномерное преобразование Фурье от преобразования Радона для функции $f(x,y)$ есть не что иное как двумерное преобразование Фурье от функции $f(x,y)$.

Поскольку преобразование Фурье функции $f(x,y)$ существует (это необходимое исходное допущение), то существует и обратное преобразование Фурье от функции $F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )$. Учитывая (3), можно заключить, что должно существовать и обратное преобразование Радона.

Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом

$f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}.$

Удобно переписать эту формулу в полярных координатах:

$f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{2\pi }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )\omega d\alpha d\omega$,

что, учитывая (3), даёт формулу обратного преобразования Радона:

$f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\infty }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}\ {\tilde {R}}(\omega ,\alpha )\omega d\omega d\alpha$ (4),

где ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds$.

Выражение (4), помимо того что является одним из вариантов записи обратного преобразования Радона, также определяет метод реконструкции $f(x,y)$ из её проекций $R(s,\alpha _{i})$, называемый специалистами методом Фурье-синтеза. Таким образом, в методе Фурье-синтеза сначала необходимо сформировать из большого количества одномерных Фурье-образов проекций по полярной сетке ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha _{i})$ двумерный спектр ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )$ (при этом используется теорема о центральном сечении), а затем выполнить обратное двумерное преобразование Фурье в полярной системе координат от ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )$. Существуют и другие методы реконструкции $f(x,y)$ из $R(s,\alpha )$

Теорема о центральном сечении

Применим операцию прямого преобразования Фурье к преобразованию Радона от $f(x,y)$: $\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (s-x\cos \alpha -y\sin \alpha )dxdy\right)e^{-i\omega s}ds$

Перестановка порядка интегрирования и применение фильтрующего свойства дельта функции приводят к формулировке теоремы о центральном сечении: $\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}\delta (s-x\cos \alpha -y\sin \alpha )ds\right)f(x,y)dxdy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}dxdy$

Из последнего равенства, в частности, следует, что Фурье-образ проекции $R(s,\alpha )$ представляет собой спектр функции $f(x,y)$ вдоль прямой, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом $\alpha +\pi /2$. Таким образом, Фурье-образ проекции является центральным сечением двумерного Фурье-образа функции $f(x,y)$. В литературе это свойство называют теоремой о центральном слое или центральном сечении.

Применение преобразования Радона

Схема получения рентгеновской томограммы

В компьютерной рентгеновской томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна $\exp \left\{-\int \limits _{AA'}\rho (x,y)dz\right\}$, где $\rho (x,y)$ показатель поглощения вещества объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой $AA'$, проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от показателя поглощения. Вращая систему из источника излучения и детектора вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показанной на рисунке, получают множество луч-сумм в выбранном срезе объекта. Затем, используя один из методов реконструкции, можно восстановить распределение показателя поглощения в любой точке прозондированной плоскости объекта.

Преобразования Радона подобным образом используются и в магнито-резонансной томографии.

Преобразование Радона для функции произвольного числа переменных

Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:

$R(s,{\vec {n}})=\int \delta ({\vec {n}}{\vec {r}}-s)f({\vec {r}})d{\vec {r}}$ (2)

Здесь ${\vec {r}}=(x,y)$ — радиус-вектор из начала координат, $d{\vec {r}}=dxdy$ — двумерный элемент объёма, ${\vec {n}}$ — единичный вектор, который можно параметризовать как ${\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$. С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.

Формула (2) обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под ${\vec {r}}$, $dV$ и ${\vec {n}}$ понимать соответственно $N$-мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в $N$-мерном пространстве и $N$-мерный единичный вектор. В принципе, вектор ${\vec {n}}$ можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация ${\vec {n}}=(\sin \theta \cos \alpha ,\sin \theta \sin \alpha ,\cos \theta )$.

Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости, перпендикулярной вектору ${\vec {n}}$ и проходящей на расстоянии $s$ от начала координат (взятом со знаком минус, если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором ${\vec {n}}$).

Обращение многомерного преобразования Радона

В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Рассмотрим преобразование Фурье от $R(s,{\vec {n}})$ по переменной $s$, то есть

$\int R(s,{\vec {n}})e^{-is\omega }ds$.

Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим:

$\int R(s,{\vec {n}})e^{-is\omega }ds=\int f({\vec {r}})e^{-i{\vec {r}}{\vec {n}}\omega }d{\vec {r}}$.

Заметим теперь, что $\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{N-1}d\omega \int d{\vec {n}}$ есть интеграл по всему $N$-мерному пространству (здесь под интегралом $\int d{\vec {n}}$ подразумевается интеграл по $(N-1)$-мерной сфере, в частности, для $N=2$ $\int d{\vec {n}}=\int \limits d\alpha$, для $N=3$ $\int d{\vec {n}}=\int \limits d\phi \cos \theta d\theta$). Из этого следует, что

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1}d\omega }{(2\pi )^{N}}}\int d{\vec {n}}e^{i({\vec {r}}'-{\vec {r}})\omega {\vec {n}}}=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$.

Используя это представление векторной дельта-функции, получаем формулу обращения:

$f({\vec {r}}')=\int d{\vec {n}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1}d\omega }{(2\pi )^{N}}}e^{i{\vec {r}}'{\vec {n}}\omega }\int dse^{-is\omega }R(s,{\vec {n}})$.

См. также

• Формула Крофтона
• Преобразование Хафа

Литература

• Грузман И. С. Математические задачи компьютерной томографии // Соросовский образовательный журнал № 5, 2001.
• Deans S. R. The Radon Transform and Some of Its Applications. — New York: John Wiley & Sons, 1983.
• Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32). — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. — ISBN 0-89871-493-1.
• Natterer F., Wubbeling F. Mathematical Methods in Image Reconstruction. — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. — ISBN 0-89871-472-9.