Принцип Герца

Принцип Герца, также известный как принцип наименьшей кривизны или принцип прямейшего пути — один из вариационных принципов механики, который гласит, что при отсутствии любых активных сил (потенциальной энергии) из всех кинематически возможных (т.е. допускаемых связями) траекторий действительной будет только та, у которой наименьшая кривизна. Применялся Герцем для построения механики, в которой действие активных сил заменялось введением соответствующих связей. Впервые предложен в 1894 году.

Принцип Герца часто рассматривается как частный случай гауссовского принципа наименьшего принуждения, частный случай принципа Мопертюи в трактовке Якоби и обобщение закона инерции. Связь с принципом Гаусса обусловлена пропорциональностью принуждения квадрату кривизны. При идеальных связях принцип Герца и принцип Гаусса имеют одинаковое математическое выражение.

Кривой Гаусса-Герца на пути x (t) = x_α (t) в римановом пространстве Rⁿ × l₂, δ_ij + δ^αβ являются минимальные квадраты Лагранжа (сумма серий функций, равномерное схождение).

Математическое выражение

В принципе Герца функция Z математически выражается следующим образом:

$Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}$

Кинетическая энергия $T$ сохраняется при этих условиях:

$T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}$

Поскольку линейный элемент $ds^{2}$ в $3N$-мерной системе координат определяется по формуле

$ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\right|^{2}$,

то закон сохранения энергии может также иметь форму

$\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T$

При делении $Z$ на $2T$ появляется ещё один минимум:

$K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}$

Поскольку ${\sqrt {K}}$ — локальная кривизна траектории в $3n$-мерной системе координат, минимизация $K$ равноценна поиску траектории с минимальной кривизной (геодезической).

Литература

• Наименьшей кривизны принцип // Моршин — Никиш. — М. : Советская энциклопедия, 1974. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 17).
• Герца принцип // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Hertz, H. (1896). Principles of Mechanics. Miscellaneous Papers. III. Macmillan.
• Georgi Georgiev, Iskren Georgiev. The Least Action and the Metric of an Organized System (англ.) // Open Systems and Information Dynamics. — 2002. — No. 9(4). — P. 371—380.
• Constantin Udriste, Massimiliano Ferrara, Ionel Tevy, Oltin Dogaru, Armando Ciancio. The least-curvature principle of Gauss and Hertz and geometric dynamics (англ.) // 9th WSEAS Int. Conf. on MATHEMATICS & COMPUTERS IN BUSINESS AND ECONOMICS (MCBE '08). — Bucharest, Romania, 2008. — 25 June. — P. 34—38.