Простое число Эйзенштейна

Наименьшие простые числа Эйзенштейна. Точки на зеленых осях соответствуют натуральным простым числам вида $3k-1$. Все остальные, возведённые в квадрат, дают натуральное простое.

Простое число Эйзенштейна — число Эйзенштейна:

$z=a+b\omega \qquad (\omega =e^{2\pi i/3})$,

являющееся неприводимым (или, эквивалентно, простым) элементом Z[ω] в смысле теории колец.

Умножение на обратимый элемент и сопряжение любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.

Целое число Эйзенштейна $z=a+b\omega$ является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:

1. $z$ является произведением обратимого элемента на натуральное простое вида $3k-1$,
2. $N(z)=a^{2}-ab+b^{2}$ является натуральным простым, сравнимым с 0 (то есть равным 3) или 1 по модулю 3.

Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, равных натуральным простым $3k-1$:

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101 (последовательность A003627 в OEIS).

Все натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, не являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в Z[ω]. Примеры:

$3=(1-\omega )(1+\omega ^{2})=-(1+2\omega )^{2}$

$7=(3+\omega )(2-\omega )$.

Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными:

$2+\omega ,\,3+\omega ,\,4+\omega ,\,5+2\omega ,\,6+\omega ,\,7+\omega ,\,7+3\omega$.

С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные выше числа, вместе с 2 и 5, — это все простые числа Эйзенштейна, не превосходящие по абсолютному значению 7.

По состоянию на 2017 год наибольшим известным действительным простым числом Эйзенштейна является 10223 × 2^31172165 + 1, открытое проектом PrimeGrid.

Все большие известные простые являются простыми числами Мерсенна и были найдены с помощью GIMPS. Действительные простые Эйзенштейна сравнимы с 2 по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них, 3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, никакое простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

См. также

• Гауссовы целые числа