Связное пространство

Не следует путать с односвязным пространством.

Множество A связно, а множество B несвязно.

Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.

Определение

Непустое топологическое пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых подмножеств. Связное пространство — топологическое пространство, не являющееся несвязным.

Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения.

Говорят, что подмножество топологического пространства является связным, если оно связано как пространство с индуцированной топологией.

Эквивалентные определения

Пусть $X$ — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $X$ связно.
2. $X$ нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.
3. Единственные подмножества $X$, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество $\varnothing$ и всё пространство $X$.
4. Единственные подмножества с пустой границей — пустое множество $\varnothing$ и всё пространство $X$.
5. $X$ не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
6. Единственными непрерывными функциями из $X$ в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.

Связанные определения

• Каждый элемент топологического пространства содержится в его некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются его компонентами связности, связными компонентами или просто компонентами.
  • Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство $\mathbb {Q}$ рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
• Если существует база топологии пространства $X$, состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства $X$ и само пространство $X$ (в этой топологии) называются локально связными.
• Связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом.
• Пространство $X$, для любых двух различных точек $x$ и $y$ которого существуют открытые непересекающиеся множества $U\ni x$ и $V\ni y$ такие, что $X=U\cup V$, называется вполне раздельным. Любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Например, рассмотрим пространство, состоящее из двух копий множества $\mathbb {Q}$, введём на нём отношение эквивалентности по правилу $q\sim p\Leftrightarrow q=p,\;q\neq 0,\;p\neq 0$. Факторпространство по этому отношению является вполне несвязным, однако для двух (по определению различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.

Свойства

• В любом топологическом пространстве одноточечные подмножества — связные.
• В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого и всего пространства) имеет непустую границу.
  • Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами и называются просто открыто-замкнутыми. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
• Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
• Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
• Замыкание связного подмножества $A$ связно.
  • Более того, всякое «промежуточное» подмножество $B$ ($A\subset B\subset {\bar {A}}$) тоже связно. Другими словами, если связное подмножество $A$ плотно в $B$, то множество $B$ тоже связно.
• Пусть $\{A_{\alpha }\}$ — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством $A$. Тогда множество

  $A\cup \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)$

тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)

• Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
• Каждая компонента пространства $X$ является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства $X$ не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества $A$ пространства $X$ — это максимальные связные подмножества множества $A$.
• Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
• Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
• В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
• Любое линейно связное пространство связно.
  • Обратное неверно; например замыкание графика функции $\sin {\tfrac {1}{x}}$ связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок $[-1,1]$ на оси ординат).

Примеры

• Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума.
• Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным.
• Множество Мандельброта — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным.

Вариации и обобщения

• Линейно связное пространство

См. также

• Вполне несвязное пространство
• Односвязное пространство
• Экстремально несвязное пространство