Просмотр кода страницы Уравнение Мещерского

{{другие значения термина|Мещерский|Мещерский}}
'''Уравне́ние Меще́рского''' — основное уравнение в [[механика|механике]] тел переменной массы, полученное [[Мещерский, Иван Всеволодович|И. В. Мещерским]] в [[1897 год в науке|1897 году]]<ref>Космодемьянский А. А. «Научная деятельность Ивана Всеволодовича Мещерского» стр.9-25 в книге И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 1-е. — М.: ГИТТЛ, 1949. стр.13.</ref> для [[материальная точка|материальной точки]] переменной массы (состава).

Уравнение обычно записывается в следующем виде:
<center> <math>M(t) \frac{d\mathbf v }{dt}=\mathbf u_1(t) \frac{dm_1}{dt}- \mathbf u_2(t)\frac{dm_2}{dt}+\mathbf F,</math></center>
где:
* <math>M(t)</math> — масса материальной точки, изменяющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой, в произвольный момент времени t;
* <math>\mathbf v</math> — скорость движения материальной точки переменной массы;
* <math>\mathbf F </math> — результирующая внешних сил, действующих на материальную точку переменной массы со стороны её внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае [[массообмен]]а с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.);
* <math>\mathbf u_1(t)=\mathbf v_1-\mathbf v</math> — относительная скорость присоединяющихся частиц;
* <math>\mathbf u_2(t)=\mathbf v_2-\mathbf v</math> — относительная скорость отделяющихся частиц;
* <math>\frac{dm_1}{dt}>0 </math> и <math>\frac{dm_2}{dt}>0</math> — скорость увеличения суммарной массы присоединившихся частиц и скорость увеличения суммарной массы отделившихся частиц соответственно.

[[Формула Циолковского]] может быть получена как результат решения этого уравнения.
__NOTOC__
Величина:
<center><math>\mathbf F_r=\mathbf u_1\frac{dm_1}{dt}-\mathbf u_2\frac{dm_2}{dt}</math></center>
называется [[Реактивная сила|«реактивной силой»]].

Обычно<ref>{{книга |автор = Сивухин Д. В. |заглавие  =Общий курс физики |ответственный = |ссылка  =    |место   =М. |издательство  =Физматлит; Изд-во МФТИ |год     =2005 |том        =I. Механика |страниц  =560  |страницы   =119-120 |isbn = 5-9221-0225-7}}</ref><ref>{{книга |автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]] |заглавие= Краткий курс теоретической механики|ответственный= |ссылка= |место= М.|издательство= Высшая школа|год= 1986|том= |страниц= 416|страницы=287-288 |isbn=}}</ref><ref>{{книга |автор  = Иродов И. Е. |заглавие  = Основные законы механики |ссылка   =  |ответственный =  |место  = М. |издательство  = Высшая школа |год           = 1985 |том  =  |страниц  = 248 |страницы  = 41  |isbn  = }}</ref> уравнение Мещерского получают, основываясь на уравнении для скорости изменения импульса системы материальных точек, имеющем вид:
: <math>\frac{d\vec {P}}{dt}= \vec  F,</math>
где <math>\vec P</math> — импульс системы, равный сумме импульсов всех материальных точек, составляющих систему, а <math>\vec F</math> — равнодействующая всех внешних сил, действующих на тела системы. Ниже приведён вывод уравнения, использующий именно такой подход.

{{Сокрытие
 |title = Вывод уравнения Мещерского
 |hidden = 1
 |content = 
Рассмотрим тело переменной массы <math>M=M(t)</math>. Пусть за промежуток времени <math>dt</math> к телу присоединяется малая масса <math>dm_1</math>, имевшая до присоединения скорость <math>\vec{v}_1</math>, и отделяется малая масса <math>dm_2</math>, скорость которой после отделения становится равной  <math>\vec{v}_2</math>. В качестве интересующей нас системы будем рассматривать все три упомянутые тела.

В соответствии с [[Закон сохранения импульса|законом сохранения импульса]] импульс системы в начале и конце рассматриваемого процесса одинаков:

<center><math>M\vec{v} + dm_1\vec{v}_1 = M\vec{v} + d(M\vec{v})+dm_2\vec{v}_2,\qquad(1)</math></center>

где <math>d(M\vec{v})</math> — изменение импульса основного тела, обусловленное как изменением его скорости, так и изменением его массы.

Учитывая, что <math>d(M\vec{v})=dM\vec{v}+Md\vec{v}</math>, из (1) получаем:

<center><math>dm_1\vec{v}_1=dM\vec{v}+Md\vec{v}+dm_2\vec{v}_2.\qquad(2)</math></center>

Изменение массы основного тела <math>dM</math> связано с <math>dm_1</math> и <math>dm_2</math> соотношением <math>dM=dm_1-dm_2</math>, поэтому из (2) следует:

<center><math>dm_1(\vec{v}_1-\vec{v})=Md\vec{v}+dm_2(\vec{v}_2-\vec{v}).\qquad(3)</math></center>

После перехода от дифференциалов к производным и перегруппировки слагаемых (3) приобретает вид:

<center><math>M\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{dm_1}{dt}(\vec{v}_1-\vec{v})-\frac{dm_2}{dt}(\vec{v}_2-\vec{v}).\qquad(4)</math></center>

Введя относительные скорости частиц <math>\vec{u}_1</math> и <math>\vec{u}_2</math>, равные соответственно <math>(\vec{v}_1-\vec{v})</math> и <math>(\vec{v}_2-\vec{v})</math>, и добавив равнодействующую внешних сил <math>\vec{F}</math>, получим уравнение Мещерского в окончательном виде.}}

== Релятивистское уравнение Мещерского ==
Первыми работами<ref>[[Седов, Леонид Иванович|Седов Л. И.]], Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. — М.: Наука, 1989. Стр.153.</ref>, посвященными исследованию движения ракет с учетом релятивистских эффектов, были работы Аккерета<ref>Aekeret I. Zur Theorie der Raketen // Helv-Physica. Acta.—1946. — T. 19, N 2-P. 103—112.</ref> и Зенгера<ref>Sanger E. Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe. — Munchen, 1956 (русск. пер.: М.: ИЛ, 1958).</ref>.

При выводе уравнения Мещерского, пригодного для случая скоростей, сравнимых со скоростью света, используется выражение для релятивистского импульса <math>\vec p=\frac{m\vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}</math>. В результате уравнение приобретает вид:

<center><math>\frac{d}{dt}\left(\frac{M\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\vec{v}_1\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{m_1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)-\vec{v}_2\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{m_2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right).</math></center>

В этом уравнении в общем случае не вводятся относительные скорости <math>(\vec{v}_1-\vec{v})</math> и <math>(\vec{v}_2-\vec{v})</math>, так как в релятивистском случае [[сложение скоростей]] производится иначе.

Для случая только частиц, отделяющихся со скоростью [[Коллинеарность|коллинеарной]] скорости ракеты, это уравнение сводится к следующему виду:
<center><math>M\frac{dv}{dt}=-\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)u\frac{dM}{dt},</math></center>
где <math>u=\frac{v_2-v}{1-v_2\cdot v/c^2}</math> — скорость частиц относительно ракеты.

== История открытия ==
Уравнение движения материальной точки переменной массы для случая присоединения (или отделения) частиц было получено и основательно исследовано в [[магистер]]ской [[Диссертация|диссертации]] И. В. Мещерского, защищенной в [[Петербургский Университет|Петербургском Университете]] 10 декабря [[1897 год]]а<ref>{{книга|автор=Мещерский И. В.|заглавие=Работы по механике тел переменной массы|место=М.|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы|год=1952|страницы=37}}</ref>. 
Первое сообщение об уравнении движения материальной точки переменной массы в общем случае одновременного присоединения и отделения частиц было сделано И. В. Мещерским 24 августа [[1898 год]]а на заседании секции математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и врачей в [[Киев]]е, широкую известность оно получило позднее, после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в [[1904 год в науке|1904 году]]<ref>{{книга|автор=Мещерский И. В.|заглавие=Работы по механике тел переменной массы|место=М.|издательство=Государственное издательство технико-теоретической литературы|год=1952|страницы=222}}</ref>.

По исследованиям [[Михайлов, Глеб Константинович|Г. К. Михайлова]], изложенным в его докторской диссертации<ref>Развитие основ динамики системы переменного состава и теории реактивного движения. — М.: 1977</ref> и работе «Георг Бюкуа и начала динамики систем с переменными массами»<ref>«Исследования по истории физики и механики». Москва: Наука, 1986, с. 191—238</ref>, аналогичное уравнение было установлено чешским учёным-любителем [[Бюкуа, Георг Франц Август|Георгом Бюкуа]] (1781—1851) ещё в работах 1812—1814 гг.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''[[Мещерский, Иван Всеволодович|Мещерский И. В.]]'' «Динамика точки переменной массы» // В кн. И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 2-е. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 280 с. стр.37-188.
* ''[[Мещерский, Иван Всеволодович|Мещерский И. В.]]'', «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае» // В кн. И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 2-е. — М.: ГИТТЛ, 1952. — 280 с. стр.222-264.
* ''[[Михайлов, Глеб Константинович|Михайлов Г. К.]]'' «К истории динамики систем переменного состава» Известия АН СССР: Механика твердого тела, 1975, № 5, с. 41-51.
* ''[[Михайлов, Глеб Константинович|Михайлов Г. К.]]'' К истории динамики систем переменного состава и теории реактивного движения. М.: Ин-т проблем механики АН СССР, 1974.
* ''Карагодин В. М.'' Теоретические основы механики тела переменного состава. М.: Оборонгиз, 1963. 178с.
* {{Из|ФЭ|http://femto.com.ua/articles/part_1/2260.html|заглавие=Механика тел переменной массы}}
* ''Кильчевский Н. А.'' Курс теоретической механики. Том 1. М.: Наука, 1977. Глава IV «Динамика точки переменной массы» Параграф 221. — Вывод уравнения Мещерского (стр.433-435).
* ''Айзерман М. А.'' Классическая механика. 2-е изд. М.: Наука, 1980. — 368с. Глава 3. Параграф 9. Применение основных теорем механики к движению системы переменного состава. стр.107-120.
* ''[[Веретенников, Виктор Григорьевич|Веретенников В. Г.]], Синицын В. А.'' Теоретическая механика (дополнения к общим разделам). — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 416 с. — ISBN 5-9221-0703-8 (Параграфы 2.5. Кинематика системы переменного состава. стр.71-77; 3.4. Основные динамические величины системы переменного состава. стр.91-94; 6.2. Задача о движении центра масс при взаимодействии тела с внешней сплошной средой. стр.170-172; 6.3. Теорема об изменении количества движения системы переменного состава. стр.172-180; 6.6. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к системе переменного состава. стр.200-207; 7.2. Общее уравнение аналитической динамики для системы точек переменной массы. стр.215-227.)
* ''[[Седов, Леонид Иванович|Седов Л. И.]]'' К релятивистской теории полета ракеты // Прикладная математика и механика — 1986. — Т. 50, вып. 6.
* ''[[Седов, Леонид Иванович|Седов Л. И.]], Цыпкин А. Г.'' Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. — М.: Наука, 1989. — 272 с. — ISBN 5-02-013805-3. Глава III. параграф 4. Релятивистская теория полета ракеты.

== Ссылки ==
* ''Бородовский В. Н.'' [http://www.impb.ru/science.php?id=borod_r Отечественные ракеты. История и будущее]

[[Категория:Динамика]]
[[Категория:Физические законы и уравнения|Мещерского уравнение]]
[[Категория:1897 год в науке]]
[[Категория:Именные законы и правила|Мещерского]]