Род целой функции

Определение

Пусть последовательность нулей $\{a_{n}\}$ целой функции $f$ такова, что ряд $\sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}+1}$ сходится при $p_{n}=\rho$, где $\rho$ — некоторое неотрицательное целое число (без ограничения общности будем считать, что это число — наименьшее из обладающих таким свойством). Тогда бесконечное произведение из формулировки теоремы Вейерштрасса приобретает вид:

$f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{\rho }\right).$

Если $h(z)$ — многочлен степени $\rho _{1}$, то $f$ называется целой функцией конечного рода, а число $\max(\rho ;\rho _{1})$ называется родом целой функции. Если $h$ — не многочлен, либо ряд не сходится ни при каких условиях, тогда $f$ — целая функция бесконечного рода.

Теорема Пуанкаре о скорости роста целой функции

Важность такой характеристики, как род, состоит в том, что с её помощью можно оценить скорость роста целой функции. А именно, рассмотрим величину $M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|$. Утверждение теоремы Пуанкаре состоит в том, что скорость роста этой функции связана с её родом. А именно, для целой функции $f$ рода $\rho$ и произвольного $\alpha >0$ существует такое $r_{0}$, что при $r>r_{0}$ выполняется неравенство $M(r)<e^{\alpha r^{\rho +1}}$.