Теорема Лагранжа об обращении рядов

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

Формулировка

Пусть функция $f(z)$ аналитична в точке $z_{0}$ и $f'(z_{0})\neq 0$. Тогда в некоторой окрестности точки $w_{0}=f(z_{0})$ обратная к ней функция $f^{-1}(w)$ представима рядом вида

$f^{-1}(w)=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left.\left({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\right)^{n}\right)\right|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.$

Применения

Ряд Бюрмана — Лагранжа

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции $f(z)$ по степеням другой голоморфной функции $w(z)$ и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть $f(z)$ и $w(z)$ голоморфны в окрестности некоторой точки $a\in \mathbb {C}$, притом $w(a)=0$ и $a$ — простой нуль функции $w(z)$. Теперь выберем некую область $D\ni a$, в которой $f$ и $w$ голоморфны, а $w$ однолистна в ${\overline {D}}$. Тогда имеет место разложение вида:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}w^{n}(z),$

где коэффициенты $d_{n}$ вычисляются по следующему выражению:

$d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{n+1}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!}}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left\{f'(z){\frac {(z-a)^{n}}{w^{n}(z)}}\right\}.$

Теорема об обращении рядов

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида $w=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}$. Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда $z=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}$:

$b_{n}={\frac {1}{n!}}\lim _{z\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{n}.$

Обобщения

В условиях теоремы для суперпозиции вида $F\circ f^{-1}$ справедливо представление в виде ряда

$F(f^{-1}(w))=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left.\left({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(F'(z)\left({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\right)^{n}\right)\right)\right|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.$

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Lagrange expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Lagrange Inversion Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Bürmann's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Series Reversion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Bürmann-Lagrange series (англ.)