Энергия Ферми

Энергия (уровень) Фе́рми ($E_{F}$) системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Энергия Ферми эквивалентна химическому потенциалу системы в её основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми — одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Для нерелятивистских невзаимодействующих частиц со спином 1/2 в трёхмерном пространстве

$E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3},$

Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми. Здесь $\hbar$ - приведенная постоянная Планка, $m_{0}$ - масса фермиона, $N/V$ - концентрация частиц.

Фермионы — частицы с полуцелым спином, обычно 1/2, такие, как электроны — подчиняются принципу запрета Паули, согласно которому две одинаковые частицы, образуя квантово-механическую систему (например, атом), не могут принимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми — Дирака. Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания их энергии (например, заполнение электронами электронных орбиталей атома). Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния: в случае макроскопической системы различие неважно). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми. Частицы с энергией, равной энергии Ферми, двигаются со скоростью, называемой скоростью Фе́рми.

В свободном электронном газе (квантово-механическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу. Нечто подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла, используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале). В любом случае состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми. Для свободного электронного газа, поверхность Ферми — поверхность сферы; для периодических систем она вообще имеет искаженную форму. Объём, заключённый под поверхностью Ферми, определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью. Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при ненулевых температурах

Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах $T$ можно считать $kT\ll \mu$, где $\mu$ - химический потенциал при данной температуре, $k$ - постоянная Больцмана. Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. (В другом предельном случае $kT\gg \mu$ ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.)

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

$\mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right],$

Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми $E_{F}/k$. Характерная температура имеет порядок 10⁴ K для металла, следовательно, при комнатной температуре (300 K), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми — Дирака

${{f}_{FD}}\left(E-\mu \right)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT}}\right)+1}}.$

При температуре $T\to 0$ и энергии фермиона $E$, равной $E_{F}$, функция распределения Ферми-Дирака стремится к значению ${{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu (T)\right)\to {\frac {1}{2}}$. При низких температурах $kT\ll {{E}_{F}}$ граница заполнения энергетических состояний $E=E_{F}$ симметрично размывается на величину порядка $kT$. При этом вероятность заполнения электронных состояний с энергией Ферми ${{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu \right)\approx 1/2$. При высоких температурах размытие становится несимметричным, а значение химического потенциала смещается в область низких энергий.

В качестве уровня Ферми при $kT\ll {{E}_{F}}$ можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть уровень состояния, вероятность заполнения которого частицей равна 1/2).

Энергия, температура и скорость Ферми

Элемент	Энергия Ферми, эВ	Температура Ферми, ×10 000 K	Скорость Ферми, ×1000 км/с
Li	4,74	5,51	1,29
Na	3,24	3,77	1,07
K	2,12	2,46	0,86
Rb	1,85	2,15	0,81
Cs	1,59	1,84	0,75
Cu	7,00	8,16	1,57
Ag	5,49	6,38	1,39
Au	5,53	6,42	1,40
Be	14,3	16,6	2,25
Mg	7,08	8,23	1,58
Ca	4,69	5,44	1,28
Sr	3,93	4,57	1,18
Ba	3,64	4,23	1,13
Nb	5,32	6,18	1,37
Fe	11,1	13,0	1,98
Mn	10,9	12,7	1,96
Zn	9,47	11,0	1,83
Cd	7,47	8,68	1,62
Hg	7,13	8,29	1,58
Al	11,7	13,6	2,03
Ga	10,4	12,1	1,92
In	8,63	10,0	1,74
Tl	8,15	9,46	1,69
Sn	10,2	11,8	1,90
Pb	9,47	11,0	1,83
Bi	9,90	11,5	1,87
Sb	10,9	12,7	1,96
Ni	11,67		2,04
Cr	6,92		1,56

Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости

Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.

В металлах обычно имеется несколько частично заполненных энергетических зон, поэтому указать точный вид зависимости концентрации свободных носителей заряда от положения уровня Ферми не представляется возможным.

См. также

• Квазиуровень Ферми

Литература

• Гусев В. Г., Гусев Ю. М. Электроника. — М.: Высшая школа, 1991. — С. 53. — ISBN 5-06-000681-6.