Геометрическая фигура

Фигуры на плоскости.

Фигу́ра (лат. figura — внешний вид, образ) (англ. shape) — геометрический термин, формально применимый к произвольному множеству точек. Обычно это конечное число точек, линий или поверхностей, в том числе и в единственном числе: точка, линия или поверхность.

Общие определения

Фигу́ра — любое множество точек. Точка — элемент пространства. Пространство — пара множеств:

• множество $M$ произвольных элементов;
• некоторая группа $G$ преобразований множества $M$.

Эквивалентные фигуры. Геометрия группы

Фигура $A$ эквивалентна, или равна, фигуре $B$, если в группе $G$ имеется преобразование, переводящее $A$ в $B$. Группа преобразований необходима для того, чтобы выполнялись симметричность и транзитивность свойства эквивалентности фигур, без чего понятие эквивалентности не имеет смысла. Другими словами, использование группы преобразований делает истинными следующие два утверждения:

• если фигура $A$ эквивалентна фигуре $B$, то тогда и $B$ эквивалентна $A$, другими словами, $A$ и $B$ эквивалентны;

Доказательство

Пусть фигура $A$ эквивалентна фигуре $B$, тогда существует преобразование $g$ группы $G$, переводящее $A$ в $B$. Поскольку $G$ — группа, в $G$ существует обратное преобразование $g^{-1}$, переводящее $B$ в $A$, то есть $B$ эквивалентна $A$.

• если две фигуры $A$ и $B$ эквивалентны третьей $C$, то тогда $A$ и $B$ эквивалентны.

Доказательство

Пусть фигура $A$ эквивалентна фигуре $C$, тогда существует преобразование $g$ группы $G$, переводящее $A$ в $C$. И пусть фигура $B$ эквивалентна фигуре $C$, тогда существует преобразование $h$ группы $G$, переводящее $B$ в $C$. Поскольку $G$ — группа, в $G$ существует обратное преобразование $h^{-1}$, переводящее $C$ в $B$. И поскольку $G$ — группа, в $G$ существует преобразование $h^{-1}g$, которое есть последовательное выполнение $g$ и $h^{-1}$, переводящее $A$ в $B$, то есть $A$ и $B$ эквивалентны.

Свойства и арифметические характеристики фигур пространства $M$ называются, согласно автору Эрлангенской программы Феликсу Клейну, геометрическими, если они не изменяются при любых преобразованиях группы $G$, другими словами, если они одинаковы для эквивалентных фигур. Геометрией группы $G$ называется система утверждений о геометрических свойствах и арифметических характеристиках фигур.

Группы автоморфизмов

Автоморфным преобразованием, или автоморфизмом, относительно некоторой фигуры $U$ произвольного пространства $M$ с какой-нибудь группой преобразований $G$ называется такое преобразование группы $G$, которое переводит в самоё себя (то есть отображает на себя) эту фигуру $U$. Автоморфизм перемещает любую точку фигуры $U$ снова в некоторую точку этой фигуры, в частности, в ту же самую точку.

Особенности группы преобразований делает истинными следующее утверждение:

• множество всех автоморфизмов данной группы $G$ относительно любой фигуры $U$ есть группа — подгруппа группы $G$.

Доказательство

1. Пусть имеются два любых автоморфизма, то есть любые два преобразования группы $G$, отображающие некоторую фигуру $U$ на себя. Тогда, поскольку $G$ — группа, их последовательное выполнение есть снова преобразование $G$, отображающее $U$ на себя. Таким образом, последовательное выполнение двух автоморфизмов есть снова автоморфизм.

2. Пусть имеется любой автоморфизм, то есть любое преобразования группы $G$, отображающее некоторую фигуру $U$ на себя. Тогда, поскольку $G$ — группа, обратное преобразование есть снова преобразование $G$, причём отображающее $U$ на себя. Таким образом, преобразование, обратное автоморфизму, есть снова автоморфизм.

Так как $G$ — группа преобразований, этих двух свойств автоморфизмов достаточно для того, чтобы множество всех автоморфизмов данной группы $G$ относительно любой фигуры $U$ было группой — подгруппой группы $G$.

Фигуры на плоскости

Обычно фигурой на плоскости называют замкнутые множества, которые ограничены конечным числом линий. При этом допускаются вырождения, например: угол, луч и точка считаются геометрическими фигурами.

Если все точки фигуры лежат в некоторой плоскости — она называется плоской и она может быть задана уравнением $g(x,y)=0$.

Порядок (степень) фигуры — это порядок (степень) уравнения, которым она задана.

Фигуры в (трёхмерном) пространстве

Если Φ — фигура, состоящая из всех точек (трёхмерного) пространства, удовлетворяющих уравнению $f(x,y,z)=0$, то данное уравнение — уравнение фигуры, оно задаёт фигуру Φ.

См. также

• Тело (геометрия)

Источники

• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
• Фигура // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: Сов. энциклопедия, 1988. 847 с. С. 607.