Метод Самокиша

Метод Самокиша (формула Стенжера) — метод численного интегрирования интегралов с особенностями.

Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка $[-1,1]$

Пусть требуется вычислить $I=\int \limits _{-1}^{1}f(x)\,dx$ — оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании концов на бесконечность, заменой переменных:

$x=\operatorname {th} \left({\frac {t}{2}}\right)={\frac {e^{\frac {t}{2}}-e^{-{\frac {t}{2}}}}{e^{\frac {t}{2}}+e^{-{\frac {t}{2}}}}}={\frac {e^{t}-1}{e^{t}+1}}$

$dx={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}\left({\frac {t}{2}}\right)}}dt={\frac {2e^{t}}{(e^{t}+1)^{2}}}dt$, тогда интеграл принимает следующий вид:

$I=\int \limits _{-1}^{1}f(x)\,dx=2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left({\frac {e^{t}-1}{e^{t}+1}}\right){\frac {e^{t}}{(e^{t}+1)^{2}}}\,dt=2h\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }f\left({\frac {e^{nh}-1}{e^{nh}+1}}\right){\frac {e^{nh}}{(e^{nh}+1)^{2}}}$

Интеграл берется по формуле трапеций. Пусть $q=e^{h}$,где $h={\frac {b-a}{m}}$, m — количество промежутков деления, тогда :

$I=\int \limits _{-1}^{1}f(x)\,dx=2h\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }f\left({\frac {q^{n}-1}{q^{n}+1}}\right){\frac {q^{n}}{(q^{n}+1)^{2}}}$

Суммирование заканчивается, когда остаток ряда меньше заданного $\varepsilon$, которое по Самокишу равно $e^{\pi q}$.

Библиография

• F. Stenger. Integration formulae based on the trapezoidal formula. — J. Inst.: Math. Appl., 1973. — P. 103-114.
• S. Beighton, B. Noble. An Error Estimate for Stanger’s Quadrature Formula. — Mathematics of Computation, 1982. — Т. 38. — С. 539-545.
• Самокиш Б. А. Квадратурные формулы для интегралов от функций, аналитических внутри отрезка. — Ленинград: Вест., 1990. — Т. 1. — С. 42-49.
• Марданов А. А. О вычислении сингулярных интегралов с плотностью, аналитической внутри отрезка.. — Труды ФОРА, 2003. — Т. 8. — С. 99-110.