Характеристическое число (интегральные уравнения)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Характеристическое число ядра интегрального уравнения — это комплексное значение , при котором однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

имеет нетривиальное (то есть не равное тождественно нулю) решение , называемое собственной функцией. Здесь  — область в ,  — ядро интегрального уравнения. Характеристические числа — это величины, обратные собственным значениям интегрального оператора с ядром [1]. Значения , не являющиеся характеристическими числами, называются регулярными. Если  — регулярное значение, интегральное уравнение Фредгольма второго рода

имеет единственное решение при любом свободном члене ; характеристические числа — это «особые точки», в которых решения не существует или существует бесконечно много решений в зависимости от свободного члена [2].

Характеристические числа непрерывного ядра обладают следующими свойствами:

  • Множество характеристических чисел счётно и не имеет конечных предельных точек.
  • Кратностью характеристического числа называется число отвечающих ему линейно независимых собственных функций. Кратность каждого характеристического числа конечна.
  • Из первых двух свойств вытекает, что характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

повторяя при этом число столько раз, какова его кратность.

  •  — все характеристические числа союзного ядра .
  • Если и , , то есть и  — собственные функции ядер и соответственно, то  — собственные функции ортогональны в пространстве .
  • Повторное ядро имеет характеристические числа и те же собственные функции , что и ядро .
  • Обратно, если и  — характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра , то по крайней мере один из корней уравнения является характеристическим числом ядра [3].
  • Множество характеристических чисел эрмитова непрерывного ядра не пусто и расположено на вещественной оси, система собственных функций может быть выбрана ортонормированной[4].
  • Характеристические числа совпадают с полюсами резольвенты[2].
  • Вырожденное ядро имеет конечное число характеристических чисел[5].
  • Непрерывное ядро Вольтерры не имеет характеристических чисел[6].

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 4-е. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. — 512 с.
  • Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.
  • Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.