Характеристическое число (интегральные уравнения)
Характеристическое число ядра интегрального уравнения — это комплексное значение , при котором однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода
имеет нетривиальное (то есть не равное тождественно нулю) решение , называемое собственной функцией. Здесь — область в , — ядро интегрального уравнения. Характеристические числа — это величины, обратные собственным значениям интегрального оператора с ядром [1]. Значения , не являющиеся характеристическими числами, называются регулярными. Если — регулярное значение, интегральное уравнение Фредгольма второго рода
имеет единственное решение при любом свободном члене ; характеристические числа — это «особые точки», в которых решения не существует или существует бесконечно много решений в зависимости от свободного члена [2].
Свойства
[править | править код]Характеристические числа непрерывного ядра обладают следующими свойствами:
- Множество характеристических чисел счётно и не имеет конечных предельных точек.
- Кратностью характеристического числа называется число отвечающих ему линейно независимых собственных функций. Кратность каждого характеристического числа конечна.
- Из первых двух свойств вытекает, что характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:
повторяя при этом число столько раз, какова его кратность.
- — все характеристические числа союзного ядра .
- Если и , , то есть и — собственные функции ядер и соответственно, то — собственные функции ортогональны в пространстве .
- Повторное ядро имеет характеристические числа и те же собственные функции , что и ядро .
- Обратно, если и — характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра , то по крайней мере один из корней уравнения является характеристическим числом ядра [3].
- Множество характеристических чисел эрмитова непрерывного ядра не пусто и расположено на вещественной оси, система собственных функций может быть выбрана ортонормированной[4].
- Характеристические числа совпадают с полюсами резольвенты[2].
- Вырожденное ядро имеет конечное число характеристических чисел[5].
- Непрерывное ядро Вольтерры не имеет характеристических чисел[6].
См. также
[править | править код]- Интегральное уравнение Фредгольма
- Интегральный оператор Фредгольма
- Ядро интегрального уравнения
- Резольвента интегрального уравнения
- Альтернатива Фредгольма
- Собственный вектор
Примечания
[править | править код]- ↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 271.
- ↑ 1 2 Краснов М. Л. Интегральные уравнения, 1975, с. 35.
- ↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, глава IV, §18, п. 4.
- ↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 306.
- ↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 292.
- ↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 280.
Литература
[править | править код]- Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 4-е. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. — 512 с.
- Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.
- Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.