Электрическая ёмкость

Электрическая ёмкость
$C$
Размерность	L-2M-1T4I2
Единицы измерения
СИ	фарад
СГС	сантиметр

Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности аккумулировать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы (конденсатора), представленного в виде двухполюсника.

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, общепринятое обозначение ёмкости: $C$.

Ёмкость рассчитывается как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между проводником и бесконечностью или между проводниками

$C={\frac {Q}{\varphi -\varphi _{ref}}}$,

где $Q$ — заряд, $\varphi$ — потенциал проводника, $\varphi _{ref}$ — потенциал другого проводника или потенциал на бесконечности (как правило, принимаемый за нуль).

Ёмкость зависит от геометрии и формы проводников и электрических свойств окружающей среды (её диэлектрической проницаемости).

Определение. Некоторые формулы

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

$C={\frac {Q}{\varphi }}$,

где $Q$ — заряд, $\varphi$ — потенциал проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса $R$ равна (в системе СИ):

$C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R,$

где $\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная (8,854⋅10⁻¹² Ф/м), $\varepsilon _{r}$ — относительная диэлектрическая проницаемость.

Вывод формулы Известно, что $\varphi _{1}-\varphi _{2}=\int _{1}^{2}E\,dl\Rightarrow \varphi =\int _{R}^{\mathcal {\infty }}E\,dl={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\int _{R}^{\mathcal {\infty }}{\frac {q}{r^{2}}}\,dr={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{R}}.$ Так как $C={\frac {q}{\varphi }}$, то подставив сюда найденный $\varphi$, получим, что $C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R$.

Для системы из двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом и обладающих равными по числу, но противоположными по знаку зарядами $\pm Q$, ёмкость (взаимная ёмкость) определяется как отношение величины заряда к разности потенциалов проводников. Если принять потенциал одного из проводников за нуль, формула $C=Q/\varphi$ останется в силе и для этого случая.

Дискретный элемент электрической цепи на базе вышеописанной системы, обладающий значительной ёмкостью, называется конденсатором. Два проводника при этом именуются обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

$C=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\frac {S}{d}}$,

где $S$ — площадь обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), $d$ — расстояние между обкладками.

Электрическая энергия, запасённая конденсатором, составляет

$W={\frac {CU^{2}}{2}}$,

где $U$ — напряжение между обкладками.

Обозначение и единицы измерения

Ёмкость принято обозначать большой латинской буквой $C$ (от лат. capacitas — ёмкость, вместимость).

В системе единиц СИ ёмкость выражается в фарадах, сокращённо «Ф». Проводник обладает ёмкостью в один фарад, если при величине потенциала его поверхности один вольт этот проводник несёт заряд в один кулон. Один фарад — очень большая ёмкость, реальные проводники обладают ёмкостью порядка нано- или микрофарад. «Фарад» назван в честь английского физика Майкла Фарадея.

Единицей измерения ёмкости в системе СГС является сантиметр. Соотношение: 1 см ёмкости ≈ 1,1126 пФ; 1 Ф = 8,988×10¹¹ см ёмкости.

Свойства ёмкости

• Ёмкость всегда положительна, за исключением случаев некоторых структур с сегнетоэлектриками.
• Ёмкость зависит только от геометрических размеров проводника и диэлектрических свойств среды (для конденсатора — заполняющего его материала изолятора).
• Ёмкость опосредованно зависит от температуры и частоты сигнала (через зависимость проницаемости среды $\varepsilon _{r}$ от соответствующих величин).
• В случае среды с постоянными значениями $\varepsilon _{r}$ ёмкость является константой, но в случае нелинейной среды, когда $\varepsilon _{r}$ зависит от напряжённости электрического поля, ёмкость будет изменяться с напряжением.
• Применительно к цепи синусоидального тока с частотой $\omega$, элементу «ёмкость» может быть приписано реактивное сопротивление $X_{C}=\omega ^{-1}C^{-1}$.
• Напряжение на ёмкости не может изменяться скачком.

Дифференциальная ёмкость

Дифференциальной (малосигнальной) ёмкостью называется производная от заряда проводника по потенциалу

$C_{diff}={\frac {dQ}{d\varphi }}\approx {\frac {\Delta Q}{\Delta \varphi }}$,

которая определяется для выбранных условий $\varphi =\varphi _{0}$. Эта величина характеризует реакцию проводника на малое изменение потенциала. Если зависимость заряда от потенциала линейна, то $C_{diff}=C$, но на практике встречаются и более сложные случаи.

Широкое распространение получили измерения так называемых вольт-фарадных характеристик структур металл-диэлектрик-полупроводник — зависимостей $C_{diff}(\varphi )$ при разных частотах $\omega$ изменения потенциала со временем $t$ по закону $\varphi =\varphi _{0}+\Delta \varphi \,\sin(\omega t)$. Такие измерения дают ценную информацию о качестве диэлектрика.

Электрическая ёмкость некоторых систем

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇²φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля.

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)

Вид	Ёмкость	Комментарий
Плоский конденсатор	${\frac {\varepsilon S}{4\pi d}}$	S: Площадь d: Расстояние
Два коаксиальных цилиндра	${\frac {\varepsilon l}{\log \left(R_{2}/R_{1}\right)}}$	l : Длина R1: Радиус R$_{2}$: Радиус
Две параллельные проволоки	${\frac {\varepsilon l}{4\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{2\log \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене	${\frac {\varepsilon l}{2\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{4\log \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a l: Длина
Две параллельные копланарные полосы	$\varepsilon l{\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{4\pi K\left(k\right)}}$	d: Расстояние w1, w$_{2}$: Ширина полос km: d/(2wm+d) k2: k1k2 K: Эллиптический интеграл l: Длина
Два концентрических шара	${\frac {\varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}$	R1: Радиус R2: Радиус
Два шара одинакового радиуса	${\frac {\varepsilon a}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$ ${\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+O\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}$ $={\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{\log 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {d}{a}}-2\right)+O\left({\frac {d}{a}}-2\right)\right\}$	a : Радиус d: Расстояние, d > 2a D = d/2a γ: Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены	$\varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a D = d/a
Шар	$\varepsilon a$	a: Радиус
Круглый диск	${\frac {2\varepsilon a}{\pi }}$	a : Радиус
Тонкая прямая проволока, ограниченная длина	${\frac {\varepsilon l}{2\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+O\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}$	a: Радиус проволоки l: Длина Λ: ln(l/a)

Эластанс

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ.

См. также

• Квантовая ёмкость

Литература

• Боргман И. И. Электроёмкость // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Савельев И.В. Глава X. Движение заряженных частиц. // Курс общей физики. — 3. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. 2. — С. 87—88. — 496 с. — 220 000 экз.
• Г. Крон. Тензорный анализ сетей. — Москва: Сов. радио, 1978. — 720 с.