Эллиптический интеграл

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция $f$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

$f(x)=\int \limits _{c}^{x}\!R(t,\;P(t))\,dt$,

где $R$ — рациональная функция двух аргументов, $P$ — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени, не имеющего кратных корней, $c$ — некоторая константа из поля, где определена функция.

В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях. Исключением являются случаи, когда $P$ имеет кратные корни или когда многочлены в $R(x,\;y)$ не содержат нечётных степеней $y$.

Однако для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов, называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).

История

В интегральном исчислении эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно, а позднее — Леонардом Эйлером.

Обозначения

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

• $\alpha$ — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой $o\!\varepsilon$);
• $k=\sin \alpha$ — модуль эллиптического интеграла;
• $m=k^{2}=\sin ^{2}\alpha$ — параметр.

Следует отметить, что нормальные эллиптические интегралы Лежандра, как полные, так и неполные, являются чётными функциями модуля $k$ (и модулярного угла $\alpha$). Их область определения $-1\leq k\leq +1.$

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

• $x=\sin \varphi =\operatorname {sn} u,$ где $\operatorname {sn}$ — эллиптическая функция Якоби;
• $\varphi =\arcsin x=\operatorname {am} u$ — амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что $u$ зависит также и от $m$. Несколько дополнительных уравнений связывают $u$ с другими параметрами:

$\cos \varphi =\operatorname {cn} u$

и

${\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.$

Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как

$\Delta (\varphi )=\operatorname {dn} u.$

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:

• $m_{1}\,=\,1-m$ — дополнительный параметр;
• $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ — дополнительный модуль;
• ${k'}^{2}=m_{1}$ — дополнительный модулярный угол.

Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода $F$ определяется как

$F(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}$,

или, в форме Якоби,

$F(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})}}}$.

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

$F(\varphi ,\;\sin \alpha )=F(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )$.

Частные случаи

$F(\varphi \setminus 0)=\varphi$;

$F(i\varphi \setminus 0)=i\varphi$;

$F(\varphi \setminus 90^{\circ })=\ln \left(\operatorname {sec} \varphi +\operatorname {tg} \varphi \right)=\ln \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)$;

$F(i\varphi \setminus 90^{\circ })=i\,\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} \varphi \right)$;

Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как

$E(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta$

или, используя подстановку $x=\sin \varphi ,$

$E(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {\sqrt {1-k^{2}z^{2}}}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz.$

Частные случаи

$E(\varphi ,0)=\varphi$;

$E(i\varphi ,0)=i\varphi$;

$E(\varphi ,1)=\sin \varphi$;

$E(i\varphi ,1)=i\,\operatorname {sh} \varphi$.

Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода $\Pi$ определяется как

$\Pi (c;\;\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{(1+c\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$

или

$\Pi (c;\;x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}$

Число $c$ называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла $\Pi (-1;\;\pi /2\mid m)$ стремится к бесконечности для любых $m$.

Гиперболический случай

(0 < c < m)

Введём дополнительные обозначения:

$\varepsilon =\operatorname {arcsin} \,{\sqrt {\frac {n}{\sin ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac {\pi }{2}}$;

$\beta ={\frac {\pi \,F(\varepsilon \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )}}$;

$q=q(\alpha )$;

$\nu ={\frac {\pi \,F(\varphi \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )}}$;

$\delta _{1}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(\sin ^{2}\alpha -c)}}}$;

$K(\alpha )$ — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

Тогда можно записать интеграл через тета-функции Якоби:

$\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{1}\left(-{\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {\vartheta _{4}(\nu +\beta )}{\vartheta _{4}(\nu -\beta )}}+\nu \,{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )}}\right),$

где

${\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {\vartheta _{4}(\nu +\beta )}{\vartheta _{4}(\nu -\beta )}}=2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {q^{s}}{s(1-q^{2s})}}\sin {2s\nu }\,\sin \,{2s\beta }$

и

${\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )}}=\operatorname {ctg} \,\beta +4\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {q^{2s}}{1-2q^{2s}\cos {2\beta }+q^{4s}}}\sin {2\beta }.$

(c > 1)

С помощью подстановки $C={\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}$ этот случай сводится к предыдущему, так как $0<C<\sin ^{2}\alpha .$

Введём дополнительно величину

$p_{1}={\sqrt {(c-1)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}\right)}}.$

Тогда:

$\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=-\Pi (C;\;\varphi \setminus \alpha )+F(\varphi \setminus \alpha )+{\frac {1}{2p_{1}}}\ln \left({\frac {\Delta (\varphi )+p_{1}\operatorname {tg} \,\varphi }{\Delta (\varphi )-p_{1}\operatorname {tg} \,\varphi }}\right).$

Круговой случай

(m < c < 1)

Введем дополнительные обозначения:

$\varepsilon =\operatorname {arcsin} \,{\sqrt {\frac {1-n}{\cos ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac {\pi }{2}};$

$\beta ={\frac {\pi \,F(\varepsilon \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{2\,K(\alpha )}};$

$q=q(\alpha );$

$\nu ={\frac {\pi \,F(\varphi \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )}};$

$\delta _{2}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(c-\sin ^{2}\alpha )}}}.$

Тогда эллиптический интеграл равен:

$\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{2}(\lambda -4\mu \nu ),$

где

$\lambda =\operatorname {arctg} \,(\operatorname {th} \,\beta \,\operatorname {tg} \,\nu )+2\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{s-1}}{s}}{\frac {q^{2s}}{1-q^{2s}}}\sin {2s\nu }\,\operatorname {sh} \,{2s\beta }$

и

$\mu ={\dfrac {\sum \limits _{s=1}^{\infty }sq^{s^{2}}\,\operatorname {sh} \,{2s\beta }}{1+\sum \limits _{s=1}^{\infty }q^{s^{2}}\,\operatorname {ch} \,{2s\beta }}}$

(c < 0)

С помощью подстановки $C={\frac {\sin ^{2}\alpha -c}{1-c}}$ этот случай сводится к предыдущему, так как $\sin ^{2}\alpha \ <C<1.$

Введем дополнительно величину

$p_{2}={\sqrt {\frac {-c\,(\sin ^{2}\alpha -c)}{1-c}}}.$

Тогда:

${\sqrt {(1-c)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}\right)}}\,\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )={\sqrt {(1-C)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{C}}\right)}}\,\Pi (C;\;\varphi \setminus \alpha )\,+\,{\frac {\sin ^{2}\alpha \,F(\varphi \setminus \alpha )}{p_{2}}}\,+\,\operatorname {arctg} \,\left({\frac {p_{2}}{2}}{\frac {\sin {2\varphi }}{\Delta (\varphi )}}\right)$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода

В случае, если амплитуда $\varphi$ нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна $\pi /2$, он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

$K(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}=F(\pi /2,\;k)$

или

$K(k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}.$

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right)^{2}k^{2n},$

что эквивалентно выражению

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\ldots +\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\ldots \right),$

где $n!!$ обозначает двойной факториал.

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{2}};\;1;\;k^{2}\right).$

Частные случаи

$K(0)={\frac {\pi }{2}}.$

$K(1)=\infty .$

$K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{4{\sqrt {\pi }}}}.$

$K\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{3}}}3^{\frac {1}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.$

$K\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{3}}}3^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.$

$\operatorname {sn} \,K=\sin {\frac {\pi }{2}}=1.$

$\operatorname {cn} \,K=\cos {\frac {\pi }{2}}=0.$

$\operatorname {dn} \,K={\sqrt {1-k^{2}}}=k'.$

Производная полного эллиптического интеграла 1-го рода

${\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)}{k(1-k^{2})}}-{\frac {K(k)}{k}},$

где $E(k)$ — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, определённый в следующем разделе.

Дифференциальное уравнение

Полный эллиптический интеграл 1-го рода является решением дифференциального уравнения

${\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=kK(k).$

Вторым решением этого уравнения является $K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода

В случае, если амплитуда $\varphi$ нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна $\pi /2$, он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

$E(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi =E(\pi /2,\;k)$

или

$E(k)=\int \limits _{0}^{1}\,{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx.$

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},$

что эквивалентно выражению

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\ldots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\ldots \right).$

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},\;-{\frac {1}{2}};\;1;\;k^{2}\right).$

Частные случаи

$E\left(0\right)={\frac {\pi }{2}}.$

$E\left(1\right)=1.$

$E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)=\pi ^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{-2}+{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{8{\sqrt {\pi }}}}.$

$E\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{-{\frac {3}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac {10}{3}}}3^{-{\frac {1}{4}}}{\frac {{\sqrt {3}}+1}{\pi }}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}.$

$E\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{-{\frac {1}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac {10}{3}}}3^{\frac {1}{4}}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\pi }}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}.$

Производная полного эллиптического интеграла 2-го рода

${\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}.$

Дифференциальное уравнение

Полный эллиптический интеграл 2-го рода является решением дифференциального уравнения

$\left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k).$

Вторым решением этого уравнения является функция $E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода

Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и 2-го рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

$\Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;\pi /2,\;k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{(1+c\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$

или

$\Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;1,\;k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}.$

Гиперболический случай

(0 < c < m)

$\Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )+\delta _{1}K(\alpha )\mathrm {Z} (\varepsilon \setminus \alpha )$,

где $\mathrm {Z} (\varepsilon \setminus \alpha )$ — дзета-функция Якоби.

(c > 1)

$\Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )-\Pi (C\setminus \alpha ).$

Круговой случай

(m < c < 1)

$\Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )+{\frac {1}{2}}\pi \delta _{2}\left(1-\Lambda _{0}(\varepsilon \setminus \alpha )\right),$

где $\Lambda _{0}(\varepsilon \setminus \alpha )$ — лямбда-функция Хеймана.

(c < 0)

$\Pi (c\setminus \alpha )=-{\frac {c\cos ^{2}\alpha \,\Pi (C\setminus \alpha )}{(1-c)(\sin ^{2}\alpha -n)}}+{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha -c}}K(\alpha ).$

Частные производные

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial c}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-c\right)(c-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{c}}\left(k^{2}-c\right)K(k)+{\frac {1}{c}}\left(c^{2}-k^{2}\right)\Pi (c,k)\right).\\[10px]{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{c-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (c,k)\right).\end{aligned}}$

Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)

Дзета-функция Якоби

$Z(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi \setminus \alpha )-{\frac {E(\alpha )F(\varphi \setminus \alpha )}{K(\alpha )}};$

Лямбда-функция Хеймана

$\Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{K'(\alpha )}}+{\frac {2}{\pi }}K(\alpha )\,Z(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )$

или

$\Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {2}{\pi }}\left(K(\alpha )\,E(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )-\left(K(\alpha )-E(\alpha )\right)\,F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )\right).$

См. также

• Эллиптические функции
• Эллиптическая кривая
• Специальные функции
• Аппроксимации эллиптических интегралов

Литература

• Бобылёв Д. К. Эллиптические интегралы и функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• Милн-Томсон Л. Эллиптические интегралы // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 401—441. — 832 с. — 50 000 экз.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.
• Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т. 3 (гл. 13).
• Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. (гл. 3, 7).
• Эллиптические функции (недоступная ссылка), Процедуры для Matlab.