Ядро Пуассона

Ядро Пуассо́на — ядро, используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле в единичном круге. Ядро можно представить как производную функции Грина для уравнения Лапласа. Ядро названо в честь С. Пуассона.

Ядро Пуассона играет важную роль в комплексном анализе, поскольку интеграл от ядра Пуассона — интеграл Пуассона — расширяет функцию, определённую на единичной окружности, до гармонической функции, определённой на единичном круге. По определению гармонические функции являются решениями уравнения Лапласа, и — в двумерном случае — эквивалентны мероморфным функциям. Таким образом, двумерная задача Дирихле, по сути, аналогична задаче о нахождении мероморфного продолжения функции, заданной на границе области. Также можно расширить определения ядра Пуассона на n-мерный случай.

Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и в электростатике.

Ядро Пуассона в двумерном случае

На комплексной плоскости ядро Пуассона $P_{r}(\theta )$ задаётся формулой

$P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.$

Эту формулу можно рассматривать с двух сторон: как функцию $r(\Theta )$ или как семейство функций $\Theta _{r}$ при $0\leq r<1.$

Если область $D$ такова, что $D=\{z:|z|<1\}$ — единичный круг в комплексном Лебеговом пространстве и если функция $f$ задана в области $D$, то функция

$u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\ \ \ 0\leq r<1$

является гармонической функцией в области $D.$

Так как граничные условия функции $u$ совпадают с граничными условиями функции $f$, то при $r\rightarrow 1\ \ P_{r}(\theta )$ задаёт свёртку в пространстве $L^{p}(T).$

Свёртки с таким приближением показывают пример суммирования ядра для рядов Фурье в пространстве $L^{1}.$ Пусть функция $f\in L^{1}(T)$ имеет ряд Фурье $\{f_{k}\}.$ После преобразований Фурье свёртка $P_{r}(\theta )$ умножается на ряд $\{r^{k}\}\in L^{1}(Z).$

Литература

• Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
• Axler, S.; Bourdon, P.; Ramey, W. (1992), Harmonic Function Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7.
• King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. I, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Weisstein, Eric W. Poisson Kernel (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gilbarg, D.; Trudinger, N., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7.