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[[File:Hyperbolic functions.svg|thumb|296px|right|射线出原点交双曲线 <math>x^2-y^2=1</math> 于点 <math>(\cosh\mbox{ }a,\sinh\mbox{ }a)</math>，这里的 <math>a</math> 被称为双曲角，是这条射线、它关于 <math>x</math> 轴的镜像和双曲线之间的面积。]]

在[[数学]]中，'''双曲函数'''是一类与常见的[[三角函数]]（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是'''双曲正弦'''函数“sinh”和'''双曲余弦'''函数“cosh”，从它们可以导出'''双曲正切'''函数“tanh”等等。其中的推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为'''反双曲函数'''，例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”），以此类推。

双曲函数出现于某些重要的线性[[微分方程]]的解中，譬如說定义[[悬链线]]和[[拉普拉斯方程]]。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做[[双曲角]]。在[[複分析]]中，由于双曲函数是[[指数函数]]的[[有理函数]]，因此是[[整函数]]。

==符号差异==
{{fact|time=2010-08-29|国际上普遍使用sinh x, cosh x, tanh x来表示双曲正弦、双曲余弦、双曲正切，但中国大陆的大学教材上却使用sh x, ch x, th x来表示双曲正弦、双曲余弦和双曲正切。}}

==基本定义==
[[File:sinh cosh tanh.svg|256px|thumb|<font color=#b30000>sinh</font>, <font color=#00b300>cosh</font> 和 <font color=#0000b3>tanh</font>]]
[[File:csch sech coth.svg|256px|thumb|<font color=#b30000>csch</font>, <font color=#00b300>sech</font> 和 <font color=#0000b3>coth</font>]]

*<math>\sinh x = {{e^x  - e^{ - x} } \over 2}</math>
*<math>\cosh x = {{e^x  + e^{ - x} } \over 2}</math>
*<math>\tanh x = {{\sinh x} \over {\cosh x}}</math>
*<math>\coth x = {1 \over {\tanh x}}</math>
*<math>{\mathop{\rm sech}} x = {1 \over {\cosh x}}</math>
*<math>{\mathop{\rm csch}} x = {1 \over {\sinh x}}</math>

如同当<math>t </math>遍历实数集<math> \mathbb{R}</math>时，点 (<math>\cos t\!</math>, <math>\sin t\!</math>)  的轨迹是一个[[圆]]<math>x^2 + y^2 = 1</math>一样，当<math>t </math>遍历实数集<math> \mathbb{R}</math>时，点 (<math>\cosh t\!</math>, <math>\sinh t\!</math>) 的轨迹是直角[[双曲线]] <math>x^2 - y^2 = 1</math>的右半边。这是因为有以下的恒等式：
:<math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 \,</math>
同时对于所有的 <math>t \in \mathbb{R}</math> 都有 <math>\cosh t > 0</math>。

双曲函数是带有复周期 <math>2 \pi i</math> 的[[周期函数]]。

参数 ''t'' 不是圆[[角]]而是[[双曲角]]，它表示在 ''x'' 轴和连接原点和双曲线上的点(<math>\cosh x\!</math>, <math>\sinh t\!</math>)  的直线之间的面积的两倍。 

函数<math>\cosh x\!</math>是关于 ''y'' 轴对称的[[偶函数]]。

函数 <math>\sinh x\!</math> 是[[奇函数]]，也就是说对任意的''x''，都有 -sinh ''x''  = sinh -''x'' 且 <math>\sinh 0 =  0 \!</math>。

==与三角函数的关系==
双曲函数与[[三角函数]]有如下的关係:
*<math>\sinh x=-i\sin xi\,</math>
*<math>\cosh x=\cos xi\,</math>
*<math>\tanh x=-i\tan xi\,</math>
*<math>\coth x=i\cot xi\,</math>
*<math>\operatorname{sech}x=\sec xi</math>
*<math>\operatorname{csch}x=i\,\csc xi</math>

==恆等式==

与双曲函数有关的[[恆等式]]如下:
:<math>\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \,</math>

*加法公式：
:<math>\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,</math>
:<math>\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,</math>
:<math>\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,</math>

*二倍角公式：
:<math>\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,</math>
:<math>\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \,</math>

*半角公式：
:<math>\cosh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x + 1}{2}</math> 
:<math>\sinh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2}</math>

由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個sinh的積的项（包括<math>\coth^2 x, \tanh^2 x, \operatorname{csch}^2 x , \sinh x \sinh y</math>）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式<ref> G. Osborn, [http://links.jstor.org/sici?sici=0025-5572(190207)2%3A2%3A34%3C189%3A1MFHF%3E2.0.CO%3B2-Z Mnemonic for hyperbolic formulae], The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902</ref>。如
*三倍角公式：
:三角函数的三倍角公式为：<math>\sin 3x\ = 3 \sin x - 4 \sin^3 x </math>
:而对应的双曲函数三倍角公式则是：<math>\sinh 3x\ = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x </math>
*差角公式：
:三角函数的差角公式为：<math>\cos(x-y)\ = \cos x \cos y + \sin x \sin y</math>
:而对应的双曲函数的差角公式则是：<math>\cosh(x-y)\ = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y</math>

==反双曲函数==
主條目：[[反双曲函数]]

'''反双曲函数'''是双曲函数的[[反函数]]. 它们的定义为:

:<math>\operatorname{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})</math>
:<math>\operatorname{arcosh}\, x = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})</math>
:<math>\operatorname{artanh}\, x = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)</math>
:<math>\operatorname{arcoth}\, x = \ln\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1} = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}</math>
:<math>\operatorname{arsech}\, x = \pm \ln\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}</math>
:<math>\operatorname{arcsch}\, x = 
\begin{cases} 
  \ln\frac{1 - \sqrt{1 + x^2}}{x},  & \mbox{for }x < 0\!\, \\
  \ln\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x},  & \mbox{for }x > 0\!\, 
\end{cases}</math>

==双曲函数的导数==
:<math> \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,</math>
:<math> \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,</math>
:<math> \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2  x = 1/\cosh^2 x \,</math>

==双曲函数的泰勒展開式==
雙曲函數也可以以[[泰勒級數]]展開:

:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>

:<math>\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>

:<math>\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi </math> ([[罗朗级数]])

:<math>\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} </math>

:<math>\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi </math> ([[罗朗级数]])

其中

:<math>B_n \,</math> 是第n項 [[伯努利數]]
:<math>E_n \,</math> 是第n項 [[欧拉數]]

==双曲函数的积分==
: <math>\int\sinh cx\,dx = \frac{1}{c}\cosh cx + C</math>
: <math>\int\cosh cx\,dx = \frac{1}{c}\sinh cx + C</math>
: <math>\int \tanh cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\cosh cx| + C</math>
: <math>\int \coth cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\sinh cx| + C</math>

==请参阅==
*[[三角函数]]
*[[古德曼函数]]
==參考==
<references />

[[Category:基本特殊函数]]
[[Category:指数]]

[[ar:دالة زائدية]]
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[[cs:Hyperbolická funkce]]
[[de:Hyperbelfunktion]]
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[[fr:Fonction hyperbolique]]
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[[it:Funzioni iperboliche]]
[[ja:双曲線関数]]
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[[pl:Funkcje hiperboliczne]]
[[pt:Função hiperbólica]]
[[ru:Гиперболические функции]]
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