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[[数学分析]]中，'''反函数定理'''（{{lang-en|Inverse function theorem}}）给出了[[向量值函数]]在含有定义域中一点的[[开区域]]内具有[[反函数]]的一個充分条件。對滿足該條件的函數，该定理斷言其反函数的[[全导数]]存在，并给出了一个公式。反函数定理可以推广到定义在[[流形]]上、以及定义在无穷维[[巴拿赫空间]]（和[[巴拿赫流形]]）上的映射。大致地说，''[[光滑函数|C<sup>1</sup>]]''函数''F''在点''p''可逆，如果它的[[雅可比矩阵]] <math>J_F(p)</math> 可逆。

== 定理的表述 ==
對單變量函數 <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> ，反函數定理說明如果 <math>f</math> 在點 <math>a</math> [[連續可導]]且其[[導數]]不為零，那麼存在一個包含 <math>a</math> 的[[開區間]] <math>U</math> 使得 <math>f</math> 在 <math>U</math> 上是一個[[單射]]。其反函數 <math>f^{-1}</math> 在 <math>b = f(a)</math> 處連續可導，反函數在 <math>b</math> 處的導數為

: <math>(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}</math>。

然而該條件並不是[[必要條件|必需的]]，函數 <math>f(x) = x^3</math> 在 <math>a=0</math> 處導數值為零，但存在反函數 <math>f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}</math>。然後這種情況下 <math>f^{-1}</math> 在 <math>b = f(a)</math> 處不可導，否則由[[链式法则]]可得 <math>1 = (f \circ f^{-1})'(b) = f'(a) (f^{-1})'(b)</math> ，代表 <math>f'(a)</math> 將不等於零。

對多變量函數，该定理说明如果从 <math>\mathbb{R}^n</math> 的一个开集U到 <math>\mathbb{R}^n</math> 的[[连续可微]]函数''F''的全微分在点''p''可逆（也就是说，''F''在点''p''的[[雅可比行列式]]不为零），那么F在点''p''的附近具有反函数。也就是说，在''F''(''p'')的某个[[邻域]]内，''F''的反函数存在。而且，反函数''F<sup> -1</sup>''也是连续可微的。在无穷维的情况中，需要[[弗雷歇导数]]在''p''附近具有[[有界线性映射|有界]]的反函数。

最后，定理说明：

:<math> J_{F^{-1}}(F(p)) = [ J_F(p) ]^{-1}</math>

其中<math>[\cdot]^{-1}</math>表示[[逆矩阵]]，而<math>J_G(q)</math>是函数''G''在点''q''的[[雅可比矩阵]]。

这个公式还可以从[[链式法则]]推出。链式法则说明，如果''G''和''H''是两个函数，分别在''H(p)''和''p''具有全导数，那么：

:<math>J_{G \circ H} (p) = J_G (H(p)) \cdot J_H (p).</math>

设''G''为''F''，''H''为''F''<sup> -1</sup>，<math>G \circ H</math>就是恒等函数，其雅可比矩阵也是单位矩阵。在这个特殊的情况中，上面的公式可以对<math>J_{F^{-1}}(F(p))</math>求解。注意链式法则假设了函数''H''的全导数存在，而反函数定理则证明了''F''<sup>-1</sup>在点''p''具有全导数。

''F''的反函数存在，等于是说[[方程组]]''y''<sub>''i''</sub> = ''F''<sub>''j''</sub>(''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>)可以对''x''<sub>1</sub>，……，''x''<sub>''n''</sub>求解，如果我们把''x''和''y''分别限制在''p''和''F(p)''的足够小的邻域内。

== 例子 ==

考虑从 <math>\mathbb{R}^2</math> 到 <math>\mathbb{R}^2</math> 的[[向量值函数]]，定义为：

:<math>
\mathbf{F}(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {e^x \cos y}\\
 {e^x \sin y}\\
\end{bmatrix}.
</math>

那么雅可比矩阵为：

:<math>
J_F(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {e^x \cos y} & {-e^x \sin y}\\
 {e^x \sin y} & {e^x \cos y}\\
\end{bmatrix}
</math>

其行列式为：

:<math>
\det J_F(x,y)=
e^{2x} \cos^2 y + e^{2x} \sin^2 y=
e^{2x}.
\,\!</math>

由於行列式 <math>e^{2x}</math> e<sup>2x</sup>处处不为零，根据反函数定理， <math>\mathbb{R}^2</math> 中的任意点''p''都存在个邻域，使得在这个邻域内''F''具有反函数。

== 方法和证明 ==

作为一个重要的结果，反函数定理已经有许多证明。在教科书中最常见的证明依靠了[[压缩映射]]原理，又称为[[巴拿赫不动点定理]]。（这个定理还可以用于证明[[常微分方程]]的[[柯西-利普希茨定理|存在性和唯一性]]）。由于这个定理在无穷维（巴拿赫空间）的情形也适用，因此它可以用来证明反函数定理的无穷维形式（参见下面的“推广”）。 

另外一个证明（只在有限维有效）用到了[[紧集]]上的函数的[[极值定理]]。<ref name="spivak_manifolds">Michael Spivak, ''Calculus on Manifolds''.</ref>

还有一个证明用到了[[牛顿法]]，它的好处是提供了定理的一个有效的形式。也就是说，给定函数的导数的特定界限，就可以估计函数可逆的邻域的大小。<ref name="hubbard_hubbard">John H. Hubbard and Barbara Burke Hubbard, ''Vector Analysis, Linear Algebra, and Differential Forms: a unified approach'', Matrix Editions, 2001.</ref>

== 推广 ==

=== 流形 ===

反函数定理可以推广到[[可微流形]]之间的可微映射。在这个情形中，定理说明对于可微映射''F'' : ''M'' → ''N''，如果''F''的[[前推 (微分)|导数]]

:(d''F'')<sub>''p''</sub> : T<sub>''p''</sub>''M'' → T<sub>''F''(''p'')</sub>''N''

在''M''内的某个点''p''是[[线性同构]]，那么存在''p''的一个开邻域''U''，使得：

:''F''|<sub>''U''</sub> : ''U'' → ''F''(''U'')

是[[微分同胚]]。注意这意味着''M''和''N''的维数必须相同。

如果''F''的导数在''M''内的所有点''p''都是同构，那么映射''F''就是[[局部微分同胚]]。

=== 巴拿赫空间 ===

反函数定理还可以推广到[[巴拿赫空间]]之间的可微映射。设''X''和''Y''为巴拿赫空间，''U''是''X''内的原点的一个开邻域。设''F''&nbsp;:&nbsp;''U''&nbsp;→&nbsp;''Y''连续可微，并假设''F''在点0的导数(d''F'')<sub>0</sub>&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y''是从''X''到''Y''的[[有界线性映射|有界]]线性同构。那么在''Y''内存在''F''(0)的一个开邻域''V''，以及一个连续可微的映射''G''&nbsp;:&nbsp;''V''&nbsp;→&nbsp;''X''，使得对于''V''内的所有''y''，都有''F''(''G''(''y''))&nbsp;=&nbsp;''y''。而且，''G''(''y'')是方程''F''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''y''的唯一足够小的解''x''。

在函数是''X''和''Y''之间的[[双射]]的简单情况中，函数具有连续的反函数。这可以从[[开映射定理]]立即推出。

=== 巴拿赫流形 ===

在[[巴拿赫流形]]的反函数定理中，可以把上面的两个推广结合起来。<ref name="lang">Serge Lang, ''Differential and Riemannian Manifolds'', Springer, 1995, ISBN 0-387-94338-2.</ref>

=== 常秩定理 ===

反函数定理（以及[[隐函数定理]]）可以视为常秩定理的特殊情况，它说明在某个点局部常[[秩 (微分拓扑学)|秩]]的光滑映射可以化为该点附近的特定的正规形式。<ref name="boothby">Wiilliam M. Boothby, ''An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry'', Academic Press, 2002, ISBN 0-12-116051-3.</ref>当''F''的导数在点''p''可逆时，它在''p''的邻域也可逆，因此导数的秩是常数，故可以使用常秩定理。

== 参见 ==
* [[隐函数定理]]

== 注释 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==

* {{cite journal
|     last = Nijenhuis
|    first = Albert
|authorlink= Albert Nijenhuis
|    title = Strong derivatives and inverse mappings
|  journal = [[美國數學月刊|Amer. Math. Monthly]]
|   volume = 81
|     year = 1974
|    pages = 969–980
|    doi = 10.2307/2319298
}}
* {{cite book
|   author = Renardy, Michael and Rogers, Robert C.
|    title = An introduction to partial differential equations
|   series = Texts in Applied Mathematics 13
|  edition = Second edition
|publisher = Springer-Verlag
| location = New York
|     year = 2004
|    pages = 337–338
|       isbn = 0-387-00444-0
}}
* {{cite book
|     last = Rudin
|    first = Walter
|authorlink= Walter Rudin
|    title = Principles of mathematical analysis
|     url = https://archive.org/details/principlesmathem00rudi_686
|  edition = Third edition
|   series = International Series in Pure and Applied Mathematics
|publisher = McGraw-Hill Book Co.
| location = New York
|     year = 1976
|    pages = [https://archive.org/details/principlesmathem00rudi_686/page/n229 221]–223
}}
{{泛函分析}}

[[Category:多变量微积分]]
[[Category:微分拓扑学]]
[[Category:反函数]]
[[Category:实分析定理]]
[[Category:微積分定理]]