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在[[数学]]中，'''斯通氏布尔代数表示定理'''声称所有[[布尔代数]]都[[同构]]于[[集合域]]。这个定理是深入理解在二十世纪上半叶所拓展的[[布尔代数]]的基础。这个定理首先由[[马歇尔·哈维·斯通|斯通氏]]（1936年）证明，并以他的姓氏命名。斯通氏通过他对[[希尔伯特空间]]上的[[线性算子|算子]]的[[谱理论]]的研究而得出了它。

== 定理 ==
斯通氏表示定理断言[[布尔代数]][[同构]]于如下形式的它的那些[[超滤子]]的集合的所有[[子集]]的代数，{{Serif|{U : b ∈ U}|}} 对布尔代数的某个元素 {{Serif|b}}。

可能令人惊奇，它的证明要求[[选择公理]]。这个定理等价于声称所有布尔代数都有素理想的[[布尔素理想定理]]，它的证明也要求[[选择公理]]。然而斯通氏表示定理要严格弱于选择公理。

对非[[布尔代数]]的其他特定[[代数结构]]也存在类似的定理。例如，所有[[群]]都同构于[[变换群]]，这里的[[函数复合]]解释[[群子集的乘积|群乘积]]。

== 与拓扑学和范畴论的關係 ==

这个定理可以用[[拓扑学]]和[[范畴论]]的语言来重述如下。斯通氏表示定理断言在[[布尔代数]][[范畴论|范畴]]和'''[[斯通氏空间]]'''，也就是[[完全不连通空间|完全不连通]][[紧致空间|紧致]][[豪斯多夫空间|豪斯多夫]][[拓扑空间]]（也叫做'''布尔空间'''）范畴之间的[[范畴对偶性|对偶]]。

这个定理是[[斯通氏对偶性]]的特殊情况，它是在[[拓扑空间]]和[[偏序集合]]之间的对偶性的一般性框架。在布尔代数的范畴内，[[态射]]是[[布尔代数#同态和同构|布尔同态]]。在斯通氏空间的范畴内，态射是[[连续函数 (拓扑学)|连续函数]]。斯通氏对偶性把利用[[真值表]]特征化有限布尔代数推广到了命题的无限集合。它系统性的利用了[[两元素布尔代数]]'''2'''作为[[同态]]的目标，它的载体是{0,1}或[[真值]]{F,T}。

布尔代数 {{VarSerif|A}} 的[[斯通氏空间]]是在 {{VarSerif|A}} 上的所有二值同态的集合，带有这种同态的[[网 (数学)|网]][[逐点收敛]]的拓扑。（构造 {{VarSerif|A}} 的斯通氏空间的可替代和等价的方式是作为 {{VarSerif|A}} 中所有[[超滤子]]的集合，带有对每个 {{VarSerif|A}} 中的 {{VarSerif|a}} 的集合 {{Serif|{''U'' : ''U''是包含''a''的超滤子}|}} 都是这个拓扑的[[基 (拓扑学)|基]]。我们使用了下面的同态方式。）

从布尔代数 {{VarSerif|A}} 到布尔代数 {{VarSerif|B}} 同态以自然方式对应于从斯通氏空间 {{VarSerif|B}} 到斯通氏空间 {{VarSerif|A}} 的连续函数。换句话说，这种对偶性是[[逆变函子]]。

所有布尔代数都[[同构]]与它的斯通氏空间的[[闭开集|闭开]]（就是说同时是闭集和开集）[[子集]]的代数。这个同构把任何 {{VarSerif|A}} 的元素 {{VarSerif|a}} 映射到把 {{VarSerif|a}} 映射到 1 的那些同态的集合。

所有完全不连通[[紧致空间|紧致]][[豪斯多夫空间]]都[[同胚]]于所有它的[[闭开集|闭开]]子集的布尔代数的斯通氏空间。这个同胚把每个点 {{VarSerif|x}} 映射到 2-值同态 {{Serif|φ}}，它依据 {{Serif|''x'' ∈ ''S''|}} 或 {{Serif|''x'' ∉ ''S''}} 给出 {{Serif|φ(''S''){{=}} 1或0}}。

== 引用 ==
* [[集合域]]
* [[布尔代数主题列表]]
* [[斯通氏空间]]

== 引用 ==
* [[Paul Halmos]]，and Givant, Steven (1998) ''Logic as Algebra''. Dolciani Mathematical Expositions No. 21. [[The Mathematical Association of America]]。
* Johnstone, Peter T. (1982) ''Stone Spaces''. Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
* [[Marshall H. Stone]] (1936) "[http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9947%28193607%2940%3A1%3C37%3ATTORFB%3E2.0.CO%3B2-8 The Theory of Representations of Boolean Algebras,]" ''Transactions of the American Mathematical Society 40'': 37-111. 
A monograph available free online:
* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P.(1981) ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]{{Wayback|url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html |date=20050123031934 }}'' Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

[[Category:点集拓扑学]]
[[Category:布尔代数]]
[[Category:代数定理]]