馬克士威方程組

詹姆斯·马克士威

马克士威方程组（Maxwell's equations）是一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。它是由四个方程式组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的马克士威-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。马克士威方程组是因英国物理学家詹姆斯·马克士威而命名。马克士威在19世纪60年代构想出这方程组的早期形式。

术语“马克士威方程组”时常会用来指称一些其它形式的马克士威方程组。例如，在高能物理学与引力物理学里，通常会用到时空表述。这种表述建立于结合时间与空间在一起的爱因斯坦时空概念，而不是三维空间与第四维时间各自独立展现的牛顿绝对时空概念。爱因斯坦的时空表述明显地符合狭义相对论与广义相对论。在量子力学与分析力学里，基于电势与磁势的马克士威方程组版本比较获人们青睐。

自从20世纪中期以来，物理学者已明白马克士威方程组不是精确规律，它也无法解释一些基础性问题，例如，电子、质子、夸克等等基础粒子的物理行为，而是更精确和更具有基础性的量子电动力学理论的一种经典场论近似。然而对于大多数案例，从马克士威方程组经过运算获得的解答跟实际解答的分歧甚为微小。反例包括有非经典光、光子光子散射、量子光学与许多其它与光子或虚光子相关的现象。

从马克士威方程组，可以推论出光波是电磁波。马克士威方程组和劳仑兹力方程式是经典电磁学的基础方程式。从这些基础方程式的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。

概论

马克士威方程组是由四个一阶线性偏微分方程共同组成。虽然一阶与线性都是良好的数学性质，除了具有高度对称性的案例以外，通常，不能找到它的解析解，因此，必须使用数值方法来找到它的数值解。但是，由于电动力学是线性理论，可以利用叠加原理来找到问题的解答。

高斯定律

高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。从估算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。

高斯磁定律: 磁场线从来没有初始点也没有终止点，但是形成回圈或延伸到无穷远，如图这里因为电流环与磁场。

高斯磁定律

高斯磁定律表明，磁单极子实际上并不存在于宇宙（至今为止，尚未被发现），没有"磁荷"。一种称为偶极子的位形可以生成由物质产生的磁场。磁偶极子最适合由电流回路来表现，它的物理行为如同不可分割地束缚在一起正和负“磁荷”，它的净“磁荷”为零。磁场线没有初始点，也没有终止点。磁场线会形成回圈或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，磁场是一个螺线向量场。

法拉第感应定律

法拉第感应定律描述时变磁场怎样生成（感应出）电场。电磁感应是许多发电机的运作原理。例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又会生成电场，使得邻近的闭回圈因而感应出电流。

马克士威-安培定律

马克士威-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本安培定律描述的方法），另一种是靠时变电场（马克士威修正项描述的方法）。在电磁学里，马克士威修正项意味著时变电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，时变磁场又可以生成电场。这样，两个方程式在理论上允许电磁波自我持续传播于空间（更详尽内容，请参阅条目电磁波方程式）。

方程组汇览

采用不同的单位制，马克士威方程组的形式会稍微有所改变，大致形式仍旧相同，只是不同的常数会出现在方程式内部不同位置。国际单位制(SI)是最常使用的单位制，整个工程学领域都采用这种单位制，大多数化学家也都使用这种单位制，大学物理教科书几乎都采用这种单位制。其它常用的单位制有高斯单位制、劳仑兹-黑维塞单位制（Lorentz-Heaviside units）和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯单位制，比较适合于教学用途，能够使得方程式看起来更简单、更易懂。稍后会详细阐述高斯单位制。劳仑兹-黑维塞单位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理学；普朗克单位制是一种自然单位制，其单位都是根据大自然的性质定义，不是由人为设定。普朗克单位制是研究理论物理学非常有用的工具，能够给出很大的启示。在本段落里，所有方程式都采用国际单位制。

这里展示出马克士威方程组的两种等价表述。第一种表述将自由电荷和束缚电荷总和为高斯定律所需要的总电荷，又将自由电流、束缚电流和电极化电流总合为马克士威-安培定律内的总电流。这种表述采用比较基础、微观的观点。这种表述可以应用于计算在真空里有限源电荷与源电流所产生的电场与磁场。但是，对于物质内部超多的电子与原子核，实际而言，无法一一纳入计算。事实上，经典电磁学也不需要这么精确的答案。

第二种表述以自由电荷和自由电流为源头，而不直接计算出现于介电质的束缚电荷和出现于磁化物质的束缚电流和电极化电流所给出的贡献。由于在一般实际状况，能够直接控制的参数是自由电荷和自由电流，而束缚电荷、束缚电流和电极化电流是物质经过极化后产生的现象，采用这种表述会使得在介电质或磁化物质内各种物理计算更加简易。

马克士威方程组似乎是超定的（overdetermined）方程组，它只有六个未知量（向量电场、磁场各拥有三个未知量，电流与电荷不是未知量，而是自由设定并符合电荷守恒的物理量），但却有八个方程式（两个高斯定律共有两个方程式，法拉第定律与安培定律各有三个方程式）。这状况与马克士威方程组的某种有限重复性有关。从理论可以推导出，任何满足法拉第定律与安培定律的系统必定满足两个高斯定律。

微观马克士威方程组表格

以总电荷和总电流为源头的表述

名称	微分形式	积分形式
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0$
马克士威-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {B} }}{\mathrm {d} t}}$
安培定律 (含马克士威修正项)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {E} }}{\mathrm {d} t}}$

宏观马克士威方程组表格

以自由电荷和自由电流为源头的表述

名称	微分形式	积分形式
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =Q_{f}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0$
马克士威-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {B} }}{\mathrm {d} t}}$
安培定律 (含马克士威修正项)	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=I_{f}+{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {D} }}{\mathrm {d} t}}$

马克士威方程组术语符号表格

以下表格给出每一个符号所代表的物理意义，和其单位：

物理意义和单位

符号	物理意义	国际单位
$\mathbf {E} \$	电场	伏特／公尺、牛顿／库仑
$\mathbf {B} \$	磁感应强度	特斯拉、韦伯／公尺2、伏特·秒／公尺2
$\mathbf {D} \$	电位移	库仑／公尺2、牛顿／伏特·公尺
$\mathbf {H} \$	磁场强度	安培／公尺
$\mathbf {\nabla \cdot }$	散度算符	／公尺
$\mathbf {\nabla \times }$	旋度算符
${\frac {\partial }{\partial t}}$	对于时间的偏导数	／秒
$\mathbb {S}$	曲面积分的运算曲面	公尺2
$\mathbb {L}$	路径积分的运算路径	公尺
$\mathrm {d} \mathbf {s}$	微小面元素向量	公尺2
$\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$	微小线元素向量	公尺
$\varepsilon _{0}\$	电常数	法拉／公尺
$\mu _{0}\$	磁常数	亨利／公尺、牛顿／安培2
$\ \rho _{f}\$	自由电荷密度	库仑／公尺3
$\ \rho \$	总电荷密度	库仑／公尺3
$Q_{f}$	在闭曲面$\mathbb {S}$里面的自由电荷	库仑
$Q$	在闭曲面$\mathbb {S}$里面的总电荷	库仑
$\mathbf {J} _{f}$	自由电流密度	安培／公尺2
$\mathbf {J}$	总电流密度	安培／公尺2
$I_{f}$	穿过闭路径$\mathbb {L}$所包围的曲面的自由电流	安培
$I$	穿过闭路径$\mathbb {L}$所包围的曲面的总电流	安培
$\Phi _{B}$	穿过闭路径$\mathbb {L}$所包围的曲面$\mathbb {S}$的磁通量	特斯拉·公尺2、伏特·秒，韦伯
$\Phi _{E}$	穿过闭路径$\mathbb {L}$所包围的曲面$\mathbb {S}$的电通量	焦耳·公尺/库仑
$\Phi _{D}$	穿过闭路径$\mathbb {L}$所包围的曲面$\mathbb {S}$的电位移通量	库仑

微观尺度与宏观尺度

马克士威方程组通常应用于各种场的“宏观平均”。当尺度缩小至微观（microscopic scale），以至于接近单独原子大小的时侯，这些场的局部波动差异将变得无法忽略，量子现象也会开始出现。只有在宏观平均的前提下，物理量像物质的电容率和磁导率才会得到有意义的定义值。

最重的原子核的半径大约为7飞米（7× 10⁻¹⁵公尺）。所以，在经典电磁学里，微观尺度指的是尺寸的数量级大于10⁻¹⁴公尺。满足微观尺度，电子和原子核可以视为点电荷，微观马克士威方程组成立；否则，必需将原子核内部的电荷分布纳入考量。在微观尺度计算出来的电场与磁场仍旧变化相当剧烈，空间变化的距离数量级小于10⁻¹⁰公尺，时间变化的周期数量级在10⁻¹⁷至10⁻¹³秒之间。因此，从微观马克士威方程组，必需经过经典平均运算，才能得到平滑、连续、缓慢变化的宏观电场与宏观磁场。宏观尺度的最低极限为10⁻⁸公尺。这意味著电磁波的反射与折射行为可以用宏观马克士威方程组来描述。以这最低极限为边长，体积为10⁻²⁴立方公尺的立方体大约含有10⁶个原子核和电子。这么多原子核和电子的物理行为，经过经典平均运算，足以平缓任何剧烈的涨落。根据可靠文献记载，经典平均运算只需要在空间作平均运算，不需要在时间作平均运算，也不需要考虑到原子的量子效应。

经典平均运算是一种比较简单的平均程序，给定函数$F(\mathbf {r} ,t)$，这函数的空间平均定义为

$F(\mathbf {r} ,t)=\int _{\mathbb {V} }w(\mathbf {r} ')F(\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t)\ \mathrm {d} ^{3}r'$；

其中，$\mathbb {V}$是平均运算的空间，$w(\mathbf {r} ')$是权重函数。

有很多种函数可以选为优良的权重函数$w(\mathbf {r} ')$，例如，高斯函数：

$w(\mathbf {r} )={\frac {1}{(\pi R^{2})^{3/2}}}e^{-r^{2}/R^{2}}$。

最早出现的马克士威方程式和其相关理论是为宏观物质设计的，是一种现象学。在那时候，物理学者并不清楚造成电磁现象的基本原因。后来，按照物质的粒子绘景，才推导出微观马克士威方程式。二十世纪前半期，在量子力学、相对论、与粒子物理学领域的突破与发展，其崭新理论与微观马克士威方程组相结合，成为建立量子电动力学的关键基石。这是物理学中最准确的理论，所计算出的结果能够精确地符合实验数据。

证明两种表述等价

前面所论述的马克士威方程组的两种表述，在数学上是等价的。

两种高斯定律数学等价的证明

本段落证明高斯定律对于总电荷的方程式 $\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}$， 等价于高斯定律对于自由电荷的方程式 $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$。 请注意，这里只处理微分形式，不处理积分形式。这已达成足够条件。因为，根据散度定理，两种高斯定律的方程式，其微分形式都分别等价于积分形式。 电位移$\mathbf {D}$的定义式为 $\mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$； 其中，$\mathbf {P}$是电极化强度。 束缚电荷密度$\rho _{bound}$的定义式为（请参阅电极化） $\rho _{bound}\ {\stackrel {def}{=}}\ -\nabla \cdot \mathbf {P}$。 注意到$\rho$是总电荷密度： $\rho =\rho _{f}+\rho _{bound}=\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} =\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {D} +\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E}$ 。 稍加编排， $\rho -\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {D}$ 。 所以，$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\varepsilon _{0}$若且唯若$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$。两个方程式等价。

两种马克士威-安培定律数学等价的证明

本段落证明马克士威-安培定律对于总电流的方程式 $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$， 等价于马克士威-安培定律对于自由电流的方程式 $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$。 请注意，这里只处理微分形式，不处理积分形式。这已达成足够条件，因为，根据斯托克斯定理，对于这两种马克士威-安培定律的方程式，微分形式都分别等价于积分形式。 束缚电流密度$\mathbf {J} _{bound}$的定义式为（请参阅磁化强度） $\mathbf {J} _{bound}\ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla \times \mathbf {M}$； 其中，$\mathbf {M}$是磁化强度。 假设总电流密度$\mathbf {J}$是 $\mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\mathbf {J} _{bound}$。 根据电荷守恒定律， $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$、 $\nabla \cdot \mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}=0$。 那么， ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=\nabla \cdot \mathbf {J} _{f}+\nabla \cdot \mathbf {J} _{bound}+{\frac {\partial \rho _{f}}{\partial t}}+{\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}\\&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {M} )+{\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}\\&={\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$ 。 假若束缚电荷密度$\rho _{bound}$含时间，则电荷守恒定律无法被满足。为了要满足这定律，总电流密度必须加入一个项目，电极化电流密度$\mathbf {J} _{p}$，定义为： $\mathbf {J} _{p}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$。 那么， $\nabla \cdot \mathbf {J} _{p}=\nabla \cdot \left({\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial \rho _{bound}}{\partial t}}$。 因此，总电流密度$\mathbf {J}$是 $\mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\mathbf {J} _{bound}+\mathbf {J} _{p}=\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$。 磁场强度$\mathbf {H}$定义为 $\mathbf {H} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}-\mathbf {M}$。 稍加编排， ${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {J} _{f}-\ {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}&={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\nabla \times \mathbf {M} -\mu _{0}\mathbf {J} _{f}-\ \mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\\&={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\nabla \times \mathbf {M} -\mu _{0}\mathbf {J} _{f}-\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\\&={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\\\end{aligned}}$ 。 所以，$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$若且唯若$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$。两个方程式等价。

宏观马克士威方程组

束缚电荷和束缚电流

主条目：电流密度、束缚电荷和束缚电流

左半图：一群微观的电偶极子的共同作用，就好像以宏观距离分开，分别位于图上方和图下方的一对带电薄面的有效作用（请注意，这些带电表面所生成的电场，并不是原本造成电偶极子排列的电场，而是等价于这电偶极子排列的宏观表现出的电场）。右半图：一群微观的电流回路的共同作用，就好像一个宏观的电流回路的有效作用。假设电流回路均匀分布，则所有位于内部的电流回路的贡献都会互相抵销；但是，位于边界的电流回路不会全部地抵销，因而形成宏观的电流回路。

假设，施加外电场于介电质，响应这动作，介电质的分子会形成一个微观的电偶极子，显示出伴随的电偶极矩。分子的原子核会朝著电场的方向稍微迁移位置，而电子则会朝著相反方向稍微迁移位置。这形成了介电质的电极化。如右图的理想状况所示，虽然，所有涉及的电荷都仍旧束缚于其原本的分子，由于这些微小迁移所造成的电荷分布，变得好像是在介电质的一边形成了一薄层正表面电荷，在另一边又形成了一薄层负表面电荷。电极化强度定义为介电质内部的的电偶极矩密度，也就是单位体积的电偶极矩。在介电质内部，假设电极化强度$\mathbf {P}$是均匀的，则宏观的面束缚电荷只会出现于介电质表面，$\mathbf {P}$进入或离开介电质之处；否则，假设$\mathbf {P}$是不均匀的，则介电质内部也会出现束缚电荷。

与静电学有些类似，在静磁学里，假设施加外磁场于物质，响应这动作，物质会被磁化，组成的原子会显示出磁矩。在本质上，这磁矩与原子的各个亚原子粒子的角动量有关，其中，响应最显著的是电子。这角动量的连结，不禁令人联想到一副图画，在图画中，磁化物质变成了一群微观的束缚电流回路。虽然每一个电荷只是移动于其原子的微观回路，一群微观的束缚电流回路聚集在一起会形成宏观的面束缚电流循环流动于物质的表面。这些束缚电流可以用磁化强度来描述。磁化强度定义为磁偶极矩在一个磁化物质内的密度，也就是单位体积的磁偶极矩。

对于许多案例，原子行为和电子行为的微观细节，可以使用较简易的方法来处理。这样，很多精密尺度的细节，对于研究物质的宏观行为并不重要，因此可以被忽略。这解释了为甚么要区分出束缚与自由的物理行为。

这些非常复杂与粗糙的束缚电荷与束缚电流的物理行为，在宏观尺度，可以分别以电极化强度与磁化强度来表达。电极化强度与磁化强度分别将这些束缚电荷与束缚电流以恰当的尺度做空间平均，这样，可以除去单独整体原子形成的凹凸粗糙结构，但又能够显示出强度随著位置而变化的物理性质。由于所有涉及的向量场都已做过恰当体积的空间平均，宏观马克士威方程组忽略了微观尺度的许多细节，对于了解物质的宏观尺度性质，这些细节可能不具甚么重要性。

本构关系

为了要应用宏观马克士威方程组，必须分别找到$\mathbf {D}$场与$\mathbf {E}$场之间，和$\mathbf {H}$场与$\mathbf {B}$场之间的关系。这些称为本构关系的物理性质，设定了束缚电荷和束缚电流对于外场的响应。它们实际地对应于，一个物质响应外场作用而产生的电极化或磁化。

本构关系式的基础建立于$\mathbf {D}$场与$\mathbf {H}$场的定义式：

$\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)$、

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)$；

其中，$\mathbf {P}$是电极化强度，$\mathbf {M}$是磁化强度。

在解释怎样计算电极化强度与磁化强度之前，最好先检视一些特别案例。

自由空间案例

假设，在自由空间（即理想真空）里，就不用考虑介电质和磁化物质，本构关系式变得很简单：

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$、

$\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}$。

将这些本构关系式代入宏观马克士威方程组，则得到的方程组很像微观马克士威方程组，当然，在得到的高斯定律方程式和马克士威-安培方程式内，总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果，因为，在自由空间里，没有束缚电荷、束缚电流和电极化电流。

线性物质案例

对于线性、各向同性物质，本构关系式也很直接：

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$、

$\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu$；

其中，$\varepsilon$是物质的电容率，$\mu$是物质的磁导率。

将这些本构关系式代入宏观马克士威方程组，可以得到方程组

对于线性、各向同性物质的表述

名称	微分形式	积分形式
高斯定律	$\nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{f}$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset (\varepsilon \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =Q_{f}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =0$
马克士威-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\mathbb {L} }\ \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathbf {B} }}{\mathrm {d} t}}$
安培定律 (含马克士威加法)	$\nabla \times (\mathbf {B} /\mu )=\mathbf {J} _{f}+\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$	$\oint _{\mathbb {L} }\ (\mathbf {B} /\mu )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=I_{f}+{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }}{\mathrm {d} t}}$

除非这物质是均匀物质，不能从微分式或积分式内提出电容率和磁导率。通量$\Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }$的方程式为

$\Phi _{\varepsilon \mathbf {E} }=\iint _{\mathbb {S} }\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset \!\supset \varepsilon \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$。

这方程组很像微观马克士威方程组，当然，在得到的高斯定律方程式和马克士威-安培方程式内，自由空间的电容率和磁导率分别被物质的电容率和磁导率替代；还有，总电荷密度和总电流密度分别被自由电荷密度和自由电流密度替代。这符合期待的结果，因为，在均匀物质内部，没有束缚电荷、束缚电流和电极化电流，虽然由于不连续性，可能在表面会有面束缚电荷、面束缚电流或面电极化电流。

一般案例

对于实际物质，本构关系并不是简单的线性关系，而是只能近似为简单的线性关系。从$\mathbf {D}$场与$\mathbf {H}$场的定义式开始，要找到本构关系式，必需先知道电极化强度和磁化强度是怎样从电场和磁场产生的。这可能是由实验得到（建立于直接测量），或由推论得到（建立于统计力学、传输力学（transport phenomena）或其它凝聚态物理学的理论）。所涉及的细节可能是宏观或微观的。这都要视问题的层级而定。

虽然如此，本构关系式通常仍旧可以写为

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$、

$\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu$。

不同的是，$\varepsilon$和$\mu$不再是简单常数，而是函数。例如，

• 色散或吸收：$\varepsilon$和$\mu$是频率的函数。因果论不允许物质具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼关系式。场与场之间的相位可能不同相，这导致$\varepsilon$和$\mu$为复值，也导致电磁波被物质吸收。
• 非线性：$\varepsilon$和$\mu$都是电场与磁场的函数。例如，克尔效应和波克斯效应（Pockels effect）。
• 各向异性：例如，双折射或二向色性（dichroism）。$\varepsilon$和$\mu$都是二阶张量：

$D_{i}=\sum _{j}\epsilon _{ij}E_{j}$、

$B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}$。

• 双耦合各向同性（Bi-isotropy）或双耦合各向异性（Bi-anisotropy）：在双耦合各向同性物质里，$\mathbf {D}$场与$\mathbf {H}$场分别各向同性地耦合于$\mathbf {E}$场与$\mathbf {B}$场：

$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H}$、

$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E}$；

其中，$\xi$与$\zeta$是耦合常数，每一种介质的内禀常数。

在双耦合各向异性物质里，$\mathbf {D}$场与$\mathbf {H}$场分别各向异性地耦合于$\mathbf {E}$场与$\mathbf {B}$场，系数$\epsilon$、$\mu$、$\xi$、$\zeta$都是张量。

• 在不同位置和时间，$\mathbf {P}$场与$\mathbf {M}$场分别跟$\mathbf {E}$场、$\mathbf {B}$场有关：这可能是因为“空间不匀性”。例如，一个磁铁的域结构、异质结构或液晶，或最常出现的状况是多种材料占有不同空间区域。这也可能是因为随时间而改变的物质或磁滞现象。对于这种状况，$\mathbf {P}$场与$\mathbf {M}$场计算为

$\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int d^{3}\mathbf {r} 'dt'\;\chi _{\mathrm {e} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')$、

$\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int d^{3}\mathbf {r} 'dt'\;\chi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ',t')$；

其中，$\chi _{\mathrm {e} }$是电极化率，$\chi _{\mathrm {m} }$是磁化率。

实际而言，在某些特别状况，一些物质性质给出的影响微乎其微，这允许物理学者的忽略。例如，在低场强度状况，光学非线性性质可以被忽略；当频率局限于狭窄频宽内时，色散不重要；对于能够穿透物质的波长，物质吸收可已被忽略；对于微波或更长波长的电磁波，有限电导率的金属时常近似为具有无穷大电导率的完美金属（perfect metal），形成电磁场穿透的趋肤深度为零的硬障碍。

随著材料科学的进步，材料专家可以设计出具有特定的电容率或磁导率的新材料，像光子晶体。

本构关系的演算

通常而言，感受到局域场施加的劳仑兹力，介质的分子会有所响应，从相关的理论计算，可以得到这介质的本构关系式。除了劳仑兹力以外，可能还需要给出其它作用力的理论模型，像涉及晶体内部晶格振动的键作用力，将这些作用力纳入考量，一并计算。

在介质内部任意分子的位置$\mathbf {r}$，其邻近分子会被电极化和磁化，从而造成其局域场会与外场或宏观场不同。更详尽细节，请参阅克劳修斯-莫索提方程式。真实介质不是连续性物质，其局域场在原子尺度的变化相当剧烈，必需经过空间平均，才能形成连续近似。

这连续近似问题时常需要某种量子力学分析，像应用于凝聚态物理学的量子场论。请参阅密度泛函理论和格林-库波关系式（Green–Kubo relations）等等案例。物理学者研究出许多近似传输方程式，例如，波兹曼传输方程式（Boltzmann transport equation）、佛克耳-普朗克方程式（Fokker–Planck equation）和纳维-斯托克斯方程式。这些方程式已经广泛地应用于流体动力学、磁流体力学、超导现象、等离子模型（plasma modeling）等等学术领域。一整套处理这些艰难问题的物理工具已被成功地发展出来。另外，从处理像砾岩（conglomerate）或叠层材料（laminate）一类物质的传统方法演变出来的“均质化方法”，是建立于以“均质有效介质”来近似“非均质介质”的方法。当激发波长超大于非均质性的尺度时，这方法正确无误。

理论得到的答案必须符合实验测量的数据。许多真实物质的连续近似性质，是靠著实验测量而得到的。例如，应用椭圆偏振技术得到的薄膜的介电性质。

在自由空间的形式

电磁波是横波，电场方向与磁场方向相互垂直，又都垂直于传播方向。

主条目：电磁波方程式

在自由空间里，不需要考虑到介电质或磁化物质，由于源电流和源电荷为零，马克士威方程组写为

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0$、

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$、

$\nabla \times \mathbf {E} =-\ {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$、

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$。

从这方程组，应用一些向量恒等式，经过一番运算，可以得到电场与磁场的波动方程式：

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0$、

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0$。

对于这两个波动方程式，平面行进正弦波是个解答波，其电场和磁场相互垂直，并且分别垂直于行进的方向，因此是个横波。电场与磁场同相位地以光速 $c$ 传播：

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$。

仔细地观察马克士威方程组，就可以发现这方程组很明确地解释了电磁波怎样传播于空间。根据法拉第感应定律，时变磁场会生成电场；根据马克士威-安培定律，时变电场又生成了磁场。这不停的循环使得电磁波能够以光速传播于空间。

1856年，威廉·韦伯和鲁道夫·科尔劳施作莱顿瓶实验，从实验数据计算出 $c$ 的数值，他们发现，这数值非常接近于先前从天文学得到的光波传播于行星际空间的速度。从这实验结果，马克士威正确地断定光波就是一种电磁辐射。

磁单极子

主条目：磁单极子

马克士威方程组将电场、磁场与电荷的运动相连结。在方程组中，他有给电荷安排位置，但并没有给磁荷（磁单极子）安排位置。在粒子物理学里，并没有类比于电子的磁粒子。虽然如此，包括磁荷与磁流在内的马克士威方程组是一门很热门的理论研究题目。根据最新实验结果，科学家发现，有一种称为自旋冰（spin ice）的晶态物质，其宏观物理行为很像磁单极子的物理行为。请注意，这发现并没有违背磁荷从未被观察到和可能不存在的事实。除了磁荷这例外，马克士威方程组拥有对称的形式。实际而言，当所有电荷等于零时，可以写出对称的方程组。请参阅前面的自由空间段落。

假设允许磁荷存在的可能，则也可以写出完全对称的方程组。马克士威方程组内会增添两个新的变量，磁荷$\rho _{m}$和磁流$\mathbf {J} _{m}$。采用厘米-克-秒制，延伸的马克士威方程组表示为

马克士威方程组（厘米-克-秒制）

名称	磁单极子不存在	磁单极子存在
高斯定律	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho _{e}$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho _{e}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =4\pi \rho _{m}$
法拉第感应定律	$-\nabla \times \mathbf {E} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$-\nabla \times \mathbf {E} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{m}$
马克士威-安培定律	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{e}$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{e}$
请注意，删除因子$c$，即可得到无单位的形式。

假若，磁荷不存在，或者假若它们不存在于某一个区域，则新增添的两个变量$\rho _{m}$和$\mathbf {J} _{m}$都等于零，对称的方程组约化为一般形式的马克士威方程组。

边界条件

主条目：边值问题和初值问题

就像其它微分方程组，假若没有合适的边界条件与初始条件，则无法给出马克士威方程组的唯一解答。

特别而言，在一个不含有任何自由电荷和自由电流的区域$\mathbb {R}$内的电磁场，必定是来自于其它区域。当解析这状况时，通过适当的边界条件或初始条件，可以将电磁场引进这区域$\mathbb {R}$。举一个电磁波散射的例子，一个来自于散射区域之外的电磁波，遭遇到散射区域内的一个靶子，被这靶子散射出去。在这散射过程里，由于电磁波与靶子之间相互作用，散射的电磁波含有很多与这靶子性质相关的资料。经过仔细地分析，将这些资料萃取出来，就可以更详细地了解这靶子的性质。

对于某些案例，譬如波导或空腔共振器（resonator），因为像金属墙壁一类的隔离设施，解答区域大部份孤立于外部世界。在金属墙壁位置的边界条件决定了解答区域的电磁场。在解答区域以外的外部世界，只能靠著边界条件来影响内部的状况。对于另外一些案例，像光导纤维或薄膜，解答区域时常会被分割为几个亚区域，每个亚区域都有其简单独自的性质。通过亚区域与亚区域之间界面的边界条件，可以将每一个亚区域的解答连结起来。

应用边界条件，有时也可以简化问题，使得问题更容易被了解。例如，均匀物体的电极化可以被更换为在这物体外表的一层面电荷分布，或者，均匀物体的磁化被更换为在这物体外表的一层面电流分布。</ref>详尽细节，请参阅束缚电荷和束缚电流段落。

以下列出一些重要的边界条件：斯徒姆-刘维边界条件（Sturm-Liouville boundary condition）、狄利克雷边界条件、诺伊曼边界条件、混合边界条件（mixed boundary condition）、柯西边界条件（Cauchy boundary condition）、索末菲辐射条件（Sommerfeld radiation condition）。在解析问题时，必须选择适当的边界条件，才可得到正确的答案。

高斯单位制

主条目：高斯单位制

厘米-克-秒单位制的三个基本单位是长度单位公分、质量单位克、时间单位秒。在经典力学里，厘米-克-秒单位制的单位是一致的；但在电磁学里，则出现了几种变型。高斯单位制是其中一种变形。在高斯单位制里，马克士威方程组的形式为

$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{f}$、

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$、

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$、

$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{f}$。

在自由空间里，假设不存在任何电荷和电流，则方程组简化为

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0$、

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$、

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$、

$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$。

采用这单位制，电位移、电场和电极化强度的关系式为

$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$，

B场、H场和磁化强度的关系式为

$\mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M}$。

对于线性物质，电极化率 $\chi _{e}$和磁化率$\chi _{m}$分别定义为

$\mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ \chi _{e}\mathbf {E}$、

$\mathbf {M} \ {\stackrel {def}{=}}\ \chi _{m}\mathbf {H}$。

电容率$\epsilon$和磁导率$\mu$分别为

$\epsilon =1+4\pi \chi _{e}$、

$\mu =1+4\pi \chi _{m}$。

所以，电位移和B场分别为

$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$、

$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$。

在自由空间里，方程组变得相当简单：

$\epsilon =\mu =1$、

$\mathbf {D} =\mathbf {E}$、

$\mathbf {B} =\mathbf {H}$。

根据劳仑兹力定律，一个以速度$\mathbf {v}$移动于电场和磁场的带电粒子$q$，所感受到的劳仑兹力$\mathbf {F}$为

$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} \right)$。

这形式与先前国际单位制的形式稍微有点不同。特别注意，电位移、电场和电极化强度、B场、H场和磁化强度的单位相同。

关于怎样正确地从一个单位制变换到另外一个单位制，请参阅高斯单位制。

进阶表述

主条目：电磁场的数学表述

马克士威方程组的协变形式

主条目：经典电磁学与狭义相对论和经典电磁理论的协变形式

马克士威方程组与狭义相对论之间的关系密切。不只是因为马克士威方程组对于狭义相对论的初始发展，做了相当大的贡献，也因为狭义相对论激荡出一种更简洁的表述，能以协变张量来表达马克士威方程组。

自由空间的马克士威方程组的形式，对于任意惯性坐标系，都是一样的。在狭义相对论里，为了要更明确地表达出这论点，必须以四维向量和张量写出协变形式的马克士威方程组。这表述的一个构成要素为电磁张量。这张量是一个结合了电场和磁场在一起的二阶反对称协变张量$F_{\alpha \beta }$：

$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&{E_{x}}/{c}&{E_{y}}/{c}&{E_{z}}/{c}\\{-E_{x}}/{c}&0&-B_{z}&B_{y}\\{-E_{y}}/{c}&B_{z}&0&-B_{x}\\{-E_{z}}/{c}&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{matrix}}\right)$ 。

使用闵考斯基度规$\eta$，

$\eta ^{\alpha \beta }=diag(1,-1,-1,-1)=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{matrix}}\right)$ ，

将下标拉高为上标，可以得到反变张量$F^{\mu \nu }$：

$F^{\mu \nu }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\eta ^{\alpha \mu }\,\eta ^{\beta \nu }\,F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&-{E_{x}}/{c}&-{E_{y}}/{c}&-{E_{z}}/{c}\\{E_{x}}/{c}&0&-B_{z}&B_{y}\\{E_{y}}/{c}&B_{z}&0&-B_{x}\\{E_{z}}/{c}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)$ 。

给予一个$n$阶反对称协变张量$F_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$，则其$m$阶对偶张量（dual tensor）$G^{j_{1}j_{2}\dots j_{m}},\quad m<n$是一个反对称反变张量：

$G^{j_{1}j_{2}\dots j_{m}}={\frac {1}{n!}}\ \epsilon ^{j_{1}j_{2}\dots j_{m}\ i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\ F_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$；

其中，$\epsilon ^{j_{1}j_{2}\dots j_{m}\ i_{1}i_{2}\dots i_{n}}$是$m+n$维列维-奇维塔符号。

根据这定义，$F_{\alpha \beta }$的二阶对偶张量$G^{\mu \nu }$是

$G^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&{E_{z}}/{c}&-{E_{y}}/{c}\\B_{y}&-{E_{z}}/{c}&0&{E_{x}}/{c}\\B_{z}&{E_{y}}/{c}&-{E_{x}}/{c}&0\end{matrix}}\right)$ 。

换一种方法，将$F^{\alpha \beta }$的项目做以下替换：${\mathbf {E} }/{c}\to \mathbf {B}$、$\mathbf {B} \to -\ {\mathbf {E} }/{c}$，也可以得到二阶对偶张量$G^{\mu \nu }$。

另外一个要素是四维电流密度$J^{\alpha }$：

$J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )$；

其中，$\rho$是电荷密度，$\mathbf {J}$是电流密度。

藉著这些要素，采用爱因斯坦求和约定，马克士威方程组可以写为

${\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\alpha }}}=\mu _{0}J^{\beta }$、

${\frac {\partial G^{\beta \alpha }}{\partial x^{\alpha }}}=0$ ;

其中，${\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)$是四维梯度（Four-gradient）。

这两个张量方程式等价于马克士威方程组。第一个张量方程式表达两个非齐次马克士威方程式，高斯定律和马克士威-安培定律。第二个张量方程式表达两个齐次马克士威方程式，高斯磁定律和法拉第感应定律。

势场表述

在高等经典力学里，采用势场表述，以电势与磁向量势来表达马克士威方程组，有时候可能对解析问题很有助益。在量子力学里，这是必需手段。电势$\phi$与磁向量势$\mathbf {A}$分别如此定义：

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -\ {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$、

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$。

从这两个定义式，两个齐次马克士威方程式自动成立，另外两个非齐次方程式变为

$\nabla ^{2}\phi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\ {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$、

$\left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J}$。

这两个势场方程式组合起来，具有与原本马克士威方程组同样的功能和完备性。由于电场和磁场各有三个分量，原本的马克士威方程组需要解析六个分量。势场表述只需要解析四个分量，因为电势只有一个分量，磁向量势有三个分量。可是，势场表述涉及了二次微分，方程式也比较冗长。

许多不同的$\phi$与$\mathbf {A}$数值组可以得到同样的电场与磁场。因此，这些数值组相互物理等价，可以自由选择。这性质称为规范自由。恰当的选择可以简化方程式的形式，或者，可以专门适用于某特别状况。

协变形式

主条目：四维势

采用劳仑次规范，势场的两个向量方程式可以约化为单独一个具有劳仑兹不变性的四维向量方程式。四维电流密度乃是由电流密度$\mathbf {j}$和电荷密度$\rho$共同组成，以方程式定义为

$j^{\mu }=\left(\rho c,\mathbf {j} \right)$。

四维势乃是由磁向量势和电势共同组成，以方程式定义为

$A^{\mu }=\left(\varphi /c,\mathbf {A} \right)$。

二十世纪初，阿诺·索末菲提出了四维向量方程式，这是波恩哈德·黎曼先前想出的一个方程式的推广，因此，知名为“黎曼-索莫菲方程式”，或马克士威方程式的势场表述的协变形式：

$\Box A^{\mu }=\mu _{0}j^{\mu }$；

其中，$\Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$是达朗白算符，又称为“四维拉普拉斯算符”。

弯曲时空

主条目：弯曲时空中的麦克斯韦方程组

物质和能量会造成时空弯曲。这是广义相对论的主题。时空弯曲会影响电动力学的物理。一个电磁场所拥有的能量和动量也会造成时空弯曲。将平直时空的方程组中的偏导数，替换为协变导数，就可以得到弯曲时空中的马克士威方程组。采用高斯单位制，马克士威方程组表达为

$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \alpha }F^{\mu \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \alpha }F^{\alpha \mu }={4\pi \over c}j^{\beta }$、

$\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=0$；

其中，${\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }$是表征时空弯曲的克里斯托费尔符号。

参阅

• 马克士威方程组的历史
• 阿布拉罕-劳仑兹力
• 制动辐射
• 时域有限差分法
• 菲涅耳方程
• 移动中的磁铁与导体问题

• 杰斐缅柯方程式
• 电磁场的数学表述
• 非齐次的电磁波方程
• 双缝实验中光子的动力学
• 光子偏振（Photon polarization）