德拜函数：修订间差异

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2017年5月12日 (五) 10:31的最新版本

德拜函数（Debye function）是彼得·德拜于1912年估算声子对固体的比热的德拜模型时创立的函数，定义如下

D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{e^{t}-1}}\,dt.

展开式

$D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1$ 。

其中 $B_{2k}$ 是伯努利数。

$D_{n}(x)={\frac {n*((-1)^{n}*n!*\zeta (n+1)+\sum _{m=0}^{n}((-1)^{n-m+1}*n!*x^{m}*Li_{n-m+1}(e^{x}/m!))}{x^{n+1}}}-{\frac {n}{n+1}}$ ^[1]

其中 $Li_{m}(x)$ 是m阶多重对数

渐近式

For $x\rightarrow 0$ :

D_{n}(0)=1

。

For $x\ll 1$ : $D_{n}$ : $D_{n}(x)\propto \int _{0}^{\infty }{\rm {d}}t{\frac {t^{n}}{\exp(t)-1}}=\Gamma (n+1)\zeta (n+1).\quad [\Re \,n>0]$ ^[2]

参考文献

^ A. E. Dubinov, A. A. Dubinova ,Exact integral-free expressions for the integral Debye functions,Technical Physics Letters,December 2008, Volume 34, Issue 12, pp 999-1001
^ Gradshteyn, I. S., & Ryzhik, I. M. (1980). Table of integrals. Series, and Products (Academic, New York, 1980), (3.411).
^ Milton abramowitz Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions,National Bureau of Standards, p998 1972

[1] A. E. Dubinov, A. A. Dubinova ,Exact integral-free expressions for the integral Debye functions,Technical Physics Letters,December 2008, Volume 34, Issue 12, pp 999-1001

[2] Gradshteyn, I. S., & Ryzhik, I. M. (1980). Table of integrals. Series, and Products (Academic, New York, 1980), (3.411).

[3] Milton abramowitz Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions,National Bureau of Standards, p998 1972

[1]

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-{{inuse|24小时}}
+{{校对翻译}}
-'''德拜函数'''是1912年由彼得·德拜在1912年提出用于估算声子对固体的比热的[[德拜模型]]是创立的函数，定义如下
+'''德拜函数'''（Debye function）是[[彼得·德拜]]于1912年估算[[声子]]对固体的[[比热]]的[[德拜模型]]时创立的函数，定义如下
+[[File:Debye function animation.gif|thumb|300px|德拜函数]]
 :<math>D_n(x) = \frac{n}{x^n} \int_0^x \frac{t^n}{e^t - 1}\,dt.</math>
 ;展开式
-<math>D_n(x) = 1 - \frac{n}{2(n+1)} x +  n \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k+n)(2k)!} x^{2k}, \quad |x| < 2\pi,\ n \ge 1.</math>
+<math>D_n(x) = 1 - \frac{n}{2(n+1)} x +  n \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k+n)(2k)!} x^{2k}, \quad |x| < 2\pi,\ n \ge 1</math>。
 其中<math>B_{2k}</math>是[[伯努利数]]。
+<math>D_n(x)=\frac{n*((-1)^n*n!*\zeta(n+1)+\sum_{m=0}^{n}((-1)^{n-m+1}*n!*x^m*Li_{n-m+1}(e^{x}/m!))}{x^{n+1}}-\frac{n}{n+1}</math><ref>A. E. Dubinov,  A. A. Dubinova ,Exact integral-free expressions for the integral Debye functions,Technical Physics Letters,December 2008, Volume 34, Issue 12, pp 999-1001</ref>
+其中<math>Li_{m}(x)</math>是m阶[[多重对数]]
 ;渐近式
 For <math>x \rightarrow 0</math> :
-:<math>D_n(0)=1.</math>
+:<math>D_n(0)=1</math>。
-For <math>x \ll 1</math> : <math>D_n</math>:<math>D_n(x)\propto\int_0^\infty{\rm d}t\frac{t^{n}}{\exp(t)-1} = \Gamma(n + 1) \zeta(n + 1).    \quad [\Re \, n > 0]</math> <ref>Gradshteyn, I. S., & Ryzhik, I. M. (1980). Table of integrals. Series, and Products (Academic, New York, 1980), (3.411).</ref>
+For <math>x \ll 1</math> : <math>D_n</math>:<math>D_n(x)\propto\int_0^\infty{\rm d}t\frac{t^{n}}{\exp (t)-1} = \Gamma(n + 1) \zeta(n + 1).    \quad [\Re \, n > 0]</math> <ref>Gradshteyn, I. S., & Ryzhik, I. M. (1980). Table of integrals. Series, and Products (Academic, New York, 1980), (3.411).</ref>
+==相关函数==
+[[File:Debye function Maple complex plot.gif|thumb|300px|Debye function  Maple complex3D  animation]]
+也有将德拜函数定义为<ref>Milton abramowitz Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions,National Bureau of Standards, p998  1972</ref>
+<math>d_{n}(z)=\int_{0}^{x}\frac{t^n}{e^{t}-1}dt</math>
+<math>=n!*\zeta(n+1)-\frac{x^{n+1}}{n+1}+\sum_{k=0}^{n}((-1)^{k+1}*(\prod_{j=0}^{k-1}((n-j)*x^{n-k}*Li_{k+1}(exp(x)))))</math>
 ==参考文献==