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== 生成元與關係 == |
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== 生成元與關係 == |
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抽象言之,首先考慮 <math>n</math> 階[[循環群]] <math>C_n</math>。反射 <math>\tau: x \mapsto x^{-1}</math> 是 <math>C_n</math> 上的自同構,而且 <math>\tau^2 = \rm{id}.</math>。定義二面體群為[[半直積]] |
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抽象言之,首先考慮 <math>n</math> 階[[循環群]] <math>C_n</math>。反射 <math>\tau: x \mapsto x^{-1}</math> 是 <math>C_n</math> 上的自同構,而且 <math>\tau^2 = \rm{id}</math>。定義二面體群為[[半直積]] |
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: <math>D_{2n}= C_n \rtimes \{e, \tau \}</math> |
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: <math>D_{2n}= C_n \rtimes \{e, \tau \}</math> |
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任取 <math>C_n</math> 的生成元 <math>\sigma</math>,<math>D_{2n}</math> 由 <math>\sigma, \tau</math> 生成,其間的關係是 |
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任取 <math>C_n</math> 的生成元 <math>\sigma</math>,<math>D_{2n}</math> 由 <math>\sigma, \tau</math> 生成,其間的關係是 |
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: <math>\sigma^n = e, \tau^2 = e, (\tau \sigma \tau)^{-1} \sigma = e\,</math> |
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: <math>\sigma^n = e, \tau^2 = e, \tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\,</math> |
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<math>D_{2n}</math> 的元素均可唯一地表成 <math>\sigma^k \tau^h</math>,其中 <math>0 \leq k < n</math>,<math>h = 0,1\,</math>。 |
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<math>D_{2n}</math> 的元素均可唯一地表成 <math>\sigma^k \tau^h</math>,其中 <math>0 \leq k < n</math>,<math>h = 0,1\,</math>。 |
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: <math>\tau := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} </math> (對 x 軸反射) |
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: <math>\tau := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} </math> (對 x 軸反射) |
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生成的子群。由此不難看出 <math>D_{2n}</math> 是正 n 邊形的對稱群。 |
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生成的子群。由此不難看出 <math>D_{2n}</math> 是正 n 邊形的對稱群。 |
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* <math>D_{2n}</math> 的中心在 <math>n</math> 為奇數時是 <math>\{e\}</math>,在 <math>n</math> 為偶數時是 <math>\{e, \sigma^{n/2}\}</math>。 |
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* 當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_{4n}</math> 同構於 <math>D_{2n}</math> 與二階循環群的[[直積]]。同構可由下式給出: |
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: <math>\sigma^{k+\epsilon n} \tau^h \mapsto (\sigma^k \tau^h, \epsilon) </math> |
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其中 <math>h, \epsilon = 0,1</math>,<math>0 \leq k < n</math>。 |
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* 當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_{2n}</math> 的所有反射(即:二階元素)彼此共軛;當 <math>n</math> 為偶數,則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道;從幾何方面解釋,二者差意在於反射面是否通過正 <math>n</math> 邊形的 [[頂點 (幾何)|頂點]]。 |
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* 若 <math>m|n</math>,則 <math>D_{2m} \leq D_{2n}</math>,由此可導出 <math>D_{2n}</math> 共有 <math>d(n)+\sigma(n)</math> 個子群,其中的[[算術函數]] <math>d(n)</math> 與 <math>\sigma(n)</math> 分別代表 <math>n</math> 的正因數個數與正因數之和。 |
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當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_n</math> 有兩個一維不可約表示: |
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: <math>\tau \mapsto (-1)^k, \; \sigma \mapsto 1 \quad (k = 0,1)</math> |
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當 <math>n</math> 為偶數時,<math>D_n</math> 有四個一維不可約表示: |
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|image = Dihedral group D8 on a Chinese stop sign.svg |
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|image-top = 25 |
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|caption = 正八邊形的[[停車標誌]]在<math>D_{16}</math>的[[群作用]]下的結果 |
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|caption = 正八邊形的[[停車標誌]]在<math>D_{8}</math>的[[群作用]]下的結果 |
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{{Annotation|25|7|<math>e</math>}} |
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* <math>D_{2n}</math> 的中心在 <math>n</math> 為奇數時是 <math>\{e\}</math>,在 <math>n</math> 為偶數時是 <math>\{e, \sigma^{n/2}\}</math>。 |
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* 當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_{4n}</math> 同構於 <math>D_{2n}</math> 與二階循環群的[[直積]]。同構可由下式給出: |
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: <math>\sigma^{k+\epsilon n} \tau^h \mapsto (\sigma^k \tau^h, \epsilon) </math> |
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其中 <math>h, \epsilon = 0,1</math>,<math>0 \leq k < n</math>。 |
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* 當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_{2n}</math> 的所有反射(即:二階元素)彼此共軛;當 <math>n</math> 為偶數,則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道;從幾何方面解釋,二者差意在於反射面是否通過正 <math>n</math> 邊形的頂點。 |
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* 若 <math>m|n</math>,則 <math>D_{2m} \leq D_{2n}</math>,由此可導出 <math>D_{2n}</math> 共有 <math>d(n)+\sigma(n)</math> 個子群,其中的[[算術函數]] <math>d(n)</math> 與 <math>\sigma(n)</math> 分別代表 <math>n</math> 的正因數個數與正因數之和。 |
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當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_n</math> 有兩個一維不可約表示: |
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: <math>\tau \mapsto (-1)^k, \; \sigma \mapsto 1 \quad (k = 0,1)</math> |
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當 <math>n</math> 為偶數時,<math>D_n</math> 有四個一維不可約表示: |
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: <math>\tau \mapsto (-1)^k, \sigma \mapsto (-1)^h \quad (k,h = 0,1)</math> |
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: <math>\tau \mapsto (-1)^k, \sigma \mapsto (-1)^h \quad (k,h = 0,1)</math> |
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其餘不可約表示皆為二維,共有 <math>\lfloor n/2 \rfloor</math> 個,形如下式: |
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其餘不可約表示皆為二維,共有 <math>\lfloor n/2 \rfloor</math> 個,形如下式: |
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[[Category:有限群]] |
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[[Category:欧几里得对称]] |
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[[cs:Dihedrální grupa]] |
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[[de:Diedergruppe]] |
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[[en:Dihedral group]] |
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[[es:Grupo diedral]] |
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[[fr:Groupe diédral]] |
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[[he:חבורה דיהדרלית]] |
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[[hu:Diédercsoport]] |
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[[it:Gruppo diedrale]] |
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[[ja:二面体群]] |
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[[ko:정이면체군]] |
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[[ml:ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പ്]] |
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[[nl:Dihedrale groep]] |
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[[pl:Grupa diedralna]] |
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[[pt:Grupo diedral]] |
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[[ru:Диэдрическая группа]] |
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[[sv:Dihedral grupp]] |
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[[ta:இருமுகக் குலங்கள்]] |
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[[uk:Діедральна група]] |
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在數學中,二面體群 是正 邊形的對稱群,具有 個元素。某些書上則記為 。除了 的情形外, 都是非交換群。
抽象言之,首先考慮 階循環群 。反射 是 上的自同構,而且 。定義二面體群為半直積
任取 的生成元 , 由 生成,其間的關係是
的元素均可唯一地表成 ,其中 ,。
二面體群也可以詮釋為二維正交群 中由
- (旋轉 弧度)
- (對 x 軸反射)
生成的子群。由此不難看出 是正 n 邊形的對稱群。
- 的中心在 為奇數時是 ,在 為偶數時是 。
- 當 為奇數時, 同構於 與二階循環群的直積。同構可由下式給出:
其中 ,。
- 當 為奇數時, 的所有反射(即:二階元素)彼此共軛;當 為偶數,則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道;從幾何方面解釋,二者差意在於反射面是否通過正 邊形的頂點。
- 若 ,則 ,由此可導出 共有 個子群,其中的算術函數 與 分別代表 的正因數個數與正因數之和。
當 為奇數時, 有兩個一維不可約表示:
當 為偶數時, 有四個一維不可約表示:
其餘不可約表示皆為二維,共有 個,形如下式:
其中 是任一 n 次本原單位根, 過 。由 給出的表示相等價若且唯若 。