二面體群:修订间差异
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在[[數學]]中,'''二面體群''' <math>D_{2n}</math> 是正 <math>n</math> 邊形的對稱群,具有 <math>2n</math> 個元素。某些書上則記為 <math>D_n</math>。除了 <math>n=2</math> 的情形外,<math>D_{2n}</math> 都是非交換群。 |
在[[數學]]中,'''二面體群''' <math>D_{2n}</math> 是正 <math>n</math> 邊形的對稱群,具有 <math>2n</math> 個元素。某些書上則記為 <math>D_n</math>。除了 <math>n=2</math> 的情形外,<math>D_{2n}</math> 都是非交換群。 |
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==生成元與關係== |
== 生成元與關係 == |
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抽象言之,首先考慮 <math>n</math> 階[[循環群]] <math>C_n</math>。反射 <math>\tau: x \mapsto x^{-1}</math> 是 <math>C_n</math> 上的自同構,而且 <math>\tau^2 = \ |
抽象言之,首先考慮 <math>n</math> 階[[循環群]] <math>C_n</math>。反射 <math>\tau: x \mapsto x^{-1}</math> 是 <math>C_n</math> 上的自同構,而且 <math>\tau^2 = \rm{id}</math>。定義二面體群為[[半直積]] |
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: <math>D_{2n} |
: <math>D_{2n}= C_n \rtimes \{e, \tau \}</math> |
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任取 <math>C_n</math> 的生成元 <math>\sigma</math>,<math>D_{2n}</math> 由 <math>\sigma, \tau</math> 生成,其間的關係是 |
任取 <math>C_n</math> 的生成元 <math>\sigma</math>,<math>D_{2n}</math> 由 <math>\sigma, \tau</math> 生成,其間的關係是 |
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: <math>\sigma^n = e, \tau^2 = e, \tau \sigma \tau^{-1} |
: <math>\sigma^n = e, \tau^2 = e, \tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\,</math> |
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<math>D_{2n}</math> 的元素均可唯一地表成 <math>\sigma^k \tau^h</math>,其中 <math>0 \leq k < n</math>,<math>h = 0,1</math>。 |
<math>D_{2n}</math> 的元素均可唯一地表成 <math>\sigma^k \tau^h</math>,其中 <math>0 \leq k < n</math>,<math>h = 0,1\,</math>。 |
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==幾何詮釋== |
== 幾何詮釋 == |
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[[File:Pentagon reflection.png|frame|right|n=5 的情形:反射對稱]] |
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二面體群也可以詮釋為二維[[正交群]] <math>O(2)</math> 中由 |
二面體群也可以詮釋為二維[[正交群]] <math>O(2)</math> 中由 |
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生成的子群。由此不難看出 <math>D_{2n}</math> 是正 n 邊形的對稱群。 |
生成的子群。由此不難看出 <math>D_{2n}</math> 是正 n 邊形的對稱群。 |
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==性質== |
== 性質 == |
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* <math>D_{2n}</math> 的中心在 <math>n</math> 為奇數時是 <math>\{e\}</math>,在 <math>n</math> 為偶數時是 <math>\{e, \sigma^{n/2}\}</math>。 |
* <math>D_{2n}</math> 的中心在 <math>n</math> 為奇數時是 <math>\{e\}</math>,在 <math>n</math> 為偶數時是 <math>\{e, \sigma^{n/2}\}</math>。 |
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* 當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_{4n}</math> 同構於 <math>D_{2n}</math> 與二階循環群的[[直積]]。同構可由下式給出: |
* 當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_{4n}</math> 同構於 <math>D_{2n}</math> 與二階循環群的[[直積]]。同構可由下式給出: |
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: <math>\sigma^{k+\epsilon n} \tau^h \mapsto (\sigma^k \tau^h, \epsilon) </math> |
: <math>\sigma^{k+\epsilon n} \tau^h \mapsto (\sigma^k \tau^h, \epsilon) </math> |
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其中 <math>h, \epsilon = 0,1</math>,<math>0 \leq k < n</math>。 |
其中 <math>h, \epsilon = 0,1</math>,<math>0 \leq k < n</math>。 |
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* 當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_{2n}</math> 的所有反射(即:二階元素)彼此共軛;當 <math>n</math> 為偶數,則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道;從幾何方面解釋,二者差意在於反射面是否通過正 <math>n</math> 邊形的頂點。 |
* 當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_{2n}</math> 的所有反射(即:二階元素)彼此共軛;當 <math>n</math> 為偶數,則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道;從幾何方面解釋,二者差意在於反射面是否通過正 <math>n</math> 邊形的[[頂點 (幾何)|頂點]]。 |
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* 若 <math>m|n</math>,則 <math>D_{2m} \leq D_{2n}</math>,由此可導出 <math>D_{2n}</math> 共有 <math>d(n)+\sigma(n)</math> 個子群,其中的[[算術函數]] <math>d(n)</math> 與 <math>\sigma(n)</math> 分別代表 <math>n</math> 的正因數個數與正因數之和。 |
* 若 <math>m|n</math>,則 <math>D_{2m} \leq D_{2n}</math>,由此可導出 <math>D_{2n}</math> 共有 <math>d(n)+\sigma(n)</math> 個子群,其中的[[算術函數]] <math>d(n)</math> 與 <math>\sigma(n)</math> 分別代表 <math>n</math> 的正因數個數與正因數之和。 |
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==表示== |
== 表示 == |
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當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_n</math> 有兩個一維不可約表示: |
當 <math>n</math> 為奇數時,<math>D_n</math> 有兩個一維不可約表示: |
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: <math>\tau \mapsto (-1)^k, \; \sigma \mapsto 1 \quad (k = 0,1)</math> |
: <math>\tau \mapsto (-1)^k, \; \sigma \mapsto 1 \quad (k = 0,1)</math> |
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當 <math>n</math> 為偶數時,<math>D_n</math> 有四個一維不可約表示: |
當 <math>n</math> 為偶數時,<math>D_n</math> 有四個一維不可約表示: |
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其餘不可約表示皆為二維,共有 <math>\lfloor n/2 \rfloor</math> 個,形如下式: |
其餘不可約表示皆為二維,共有 <math>\lfloor n/2 \rfloor</math> 個,形如下式: |
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其中 <math>\omega</math> 是任一 n 次本原[[單位根]],<math>h</math> 過 <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>。由 <math>h_1, h_2</math> 給出的表示相等價若且唯若 <math>h_1 + h_2 \equiv 0 \mod n</math>。 |
其中 <math>\omega</math> 是任一 n 次本原[[單位根]],<math>h</math> 過 <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>。由 <math>h_1, h_2</math> 給出的表示相等價若且唯若 <math>h_1 + h_2 \equiv 0 \mod n</math>。 |
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==文獻== |
== 文獻 == |
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[[Category:群論]] |
[[Category:群論]] |
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[[Category:有限群]] |
[[Category:有限群]] |
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[[Category:欧几里得对称]] |
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[[de:Diedergruppe]] |
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[[en:Dihedral group]] |
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[[fr:Groupe diédral]] |
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[[it:Gruppo diedrale]] |
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[[pl:Grupa diedralna]] |
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[[pt:Grupo diedral]] |
2019年9月25日 (三) 07:24的最新版本
此條目没有列出任何参考或来源。 (2009年6月15日) |
在數學中,二面體群 是正 邊形的對稱群,具有 個元素。某些書上則記為 。除了 的情形外, 都是非交換群。
生成元與關係
[编辑]抽象言之,首先考慮 階循環群 。反射 是 上的自同構,而且 。定義二面體群為半直積
任取 的生成元 , 由 生成,其間的關係是
的元素均可唯一地表成 ,其中 ,。
幾何詮釋
[编辑]二面體群也可以詮釋為二維正交群 中由
- (旋轉 弧度)
- (對 x 軸反射)
生成的子群。由此不難看出 是正 n 邊形的對稱群。
性質
[编辑]- 的中心在 為奇數時是 ,在 為偶數時是 。
- 當 為奇數時, 同構於 與二階循環群的直積。同構可由下式給出:
其中 ,。
- 當 為奇數時, 的所有反射(即:二階元素)彼此共軛;當 為偶數,則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道;從幾何方面解釋,二者差意在於反射面是否通過正 邊形的頂點。
- 若 ,則 ,由此可導出 共有 個子群,其中的算術函數 與 分別代表 的正因數個數與正因數之和。
表示
[编辑]當 為奇數時, 有兩個一維不可約表示:
當 為偶數時, 有四個一維不可約表示:
其餘不可約表示皆為二維,共有 個,形如下式:
其中 是任一 n 次本原單位根, 過 。由 給出的表示相等價若且唯若 。