GCD環：修订间差异
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'''GCD環'''是一種有特殊性質的[[整环]]''R''，滿足其中任二個非零的元素都有[[最大公因數]]（GCD），或者等價的，都有[[最小公倍數]]（LCM）<ref>{{cite book|author=Scott T. Chapman, Sarah Glaz (ed.)|title=Non-Noetherian Commutative Ring Theory|publisher=Springer|year=2000|series=Mathematics and Its Applications|isbn=0-7923-6492-9|page=479}}</ref>。 |
'''GCD環'''是一種有特殊性質的[[整环]]''R''，滿足其中任二個非零的元素都有[[最大公因數]]（GCD），或者等價的，都有[[最小公倍數]]（LCM）<ref>{{cite book|author=Scott T. Chapman, Sarah Glaz (ed.)|title=Non-Noetherian Commutative Ring Theory|url=https://archive.org/details/nonnoetheriancom00ande|publisher=Springer|year=2000|series=Mathematics and Its Applications|isbn=0-7923-6492-9|page=[https://archive.org/details/nonnoetheriancom00ande/page/n475 479]}}</ref>。 |
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GCD環是將[[唯一分解整環]]推廣到非[[諾特環]]的情況，事實上，一個整環是[[唯一分解整環]]若且惟若其為滿足{{le|主理想升链条件|ascending chain condition on principal ideals}}的GCD環。 |
GCD環是將[[唯一分解整環]]推廣到非[[諾特環]]的情況，事實上，一個整環是[[唯一分解整環]]若且惟若其為滿足{{le|主理想升链条件|ascending chain condition on principal ideals}}的GCD環。 |
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== 性質 == |
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GCD環中每個[[不可約元素]]都是[[質元素]]（不過GCD環中不一定要有不可約元素，其至GCD環可能不是一個[[域 (數學)|域]]）。GCD環是 {{le|整數封閉|integrally closed}}的，且其中每一個非零的元素都是{{le|素性元素|primal element}}<ref> |
GCD環中每個[[不可約元素]]都是[[質元素]]（不過GCD環中不一定要有不可約元素，其至GCD環可能不是一個[[域 (數學)|域]]）。GCD環是 {{le|整數封閉|integrally closed}}的，且其中每一個非零的元素都是{{le|素性元素|primal element}}<ref>{{Cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/ProofThatAGcdDomainIsIntegrallyClosed.html |title=planetmath proof |accessdate=2015-08-26 |archive-date=2012-03-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120315111422/http://planetmath.org/encyclopedia/ProofThatAGcdDomainIsIntegrallyClosed.html |dead-url=no }}</ref>。換句話說，每個GCD環都是{{le|Schreier環|Schreier domain}}。 |
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針對GCD環''R''中的每一對元素''x''和''y''，其最大公因數''d''及最小公倍數''m''可以選擇為使{{nowrap|''dm'' {{=}} ''xy''}}成立的數值，換句話說，若''x''和''y''為非零元素，而''d''是''x''的''y''的任何一個最大公因數，則''xy''/''d''為''x''和''y''的最小公倍數，反之亦然。 |
針對GCD環''R''中的每一對元素''x''和''y''，其最大公因數''d''及最小公倍數''m''可以選擇為使{{nowrap|''dm'' {{=}} ''xy''}}成立的數值，換句話說，若''x''和''y''為非零元素，而''d''是''x''的''y''的任何一個最大公因數，則''xy''/''d''為''x''和''y''的最小公倍數，反之亦然。 |
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2021年7月8日 (四) 05:48的最新版本
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GCD環是一種有特殊性質的整环R，滿足其中任二個非零的元素都有最大公因數（GCD），或者等價的，都有最小公倍數（LCM）[1]。
GCD環是將唯一分解整環推廣到非諾特環的情況，事實上，一個整環是唯一分解整環若且惟若其為滿足主理想升链条件的GCD環。
性質
[编辑]GCD環中每個不可約元素都是質元素（不過GCD環中不一定要有不可約元素，其至GCD環可能不是一個域）。GCD環是 整數封閉的，且其中每一個非零的元素都是素性元素[2]。換句話說，每個GCD環都是Schreier環。
針對GCD環R中的每一對元素x和y，其最大公因數d及最小公倍數m可以選擇為使dm = xy成立的數值，換句話說，若x和y為非零元素，而d是x的y的任何一個最大公因數，則xy/d為x和y的最小公倍數，反之亦然。
若R是GCD環，其多项式环R[X1,...,Xn]也是GCD環[3]。
針對一個GCD環中的多項式X，可以定義其內容為所有係數的最大公因數。因此多項式乘積的內容即為其多項式內容的乘積，如同高斯引理敘述的一樣。
舉例
[编辑]- 唯一分解整環是GCD環，唯一分解整環是GCD環中恰好也是原子環（每一個非零非單位元素，至少有一種分解為不可約元素乘積的方式）的部份。
- Bézout環（每個有限生成的理想都是主要理想的整環）是GCD環。Bézout環不同於主要理想環（每個理想都是主要理想），Bézout環不一定要是唯一分解整環，例如一個整函数的環是非原子性的Bézout環，也有許多其他類似的例子。整環是Prüfer的GCD環的充份必要條件是其為Bézout環[4]
- 若R是非原子性的GCD環，則R[X]是GCD環中既不是唯一分解整環（因為非原子性），也不是Bézout環（因為X和R一個不能取倒數的非零元素a可以產生一個不包括1的理想，但1是X和a的最大公因數）的例子。任何符合此條件的環R[X1,...,Xn]都有類似性質。
參考資料
[编辑]- ^ Scott T. Chapman, Sarah Glaz (ed.). Non-Noetherian Commutative Ring Theory. Mathematics and Its Applications. Springer. 2000: 479. ISBN 0-7923-6492-9.
- ^ planetmath proof. [2015-08-26]. （原始内容存档于2012-03-15）.
- ^ Robert W. Gilmer, Commutative semigroup rings, University of Chicago Press, 1984, p. 172.
- ^ Ali, Majid M.; Smith, David J., Generalized GCD rings. II, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 2003, 44 (1): 75–98 [2015-08-26], MR 1990985, （原始内容存档于2015-09-24）. P. 84: "It is easy to see that an integral domain is a Prüfer GCD-domain if and only if it is a Bezout domain, and that a Prüfer domain need not be a GCD-domain.".