等价类：修订间差异

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2021年12月14日 (二) 03:30的最新版本

在数学中，假設在一个集合 $X$ 上定義一个等价关系（用 $\sim$ 來表示），则 $X$ 中的某個元素 $a$ 的等价类就是在 $X$ 中等价于 $a$ 的所有元素所形成的子集:

[a]=\{x\in X|x\sim a\}

。

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在 $X$ 中的给定等价关系 $\sim$ 的所有等价类的集合表示为 $X/\mathrm {\sim }$ 并叫做 $X$ 除以 $\sim$ 的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果 $X$ 是有限的并且等价类都是等势的，则 $X/\mathrm {\sim }$ 的序是 $X$ 的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合 $X$ 。

对于任何等价关系，都有从 $X$ 到 $X/\mathrm {\sim }$ 的一个规范投影映射 $\pi$ ，给出为 $\pi (x)=[x]$ 。这个映射总是满射的。在 $X$ 有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从 $a$ 到 $[a]$ 的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。

例子

如果 $X$ 是轿车的集合，而 $\sim$ 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。 $X/\mathrm {\sim }$ 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
考虑在整数集合 $\mathbb {Z}$ 上的“模 $2$ ” ﹝見同餘﹞等价关系: $x\sim y$ 当且仅当 $x-y$ 是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: $[0]$ 由所有偶数组成， $[1]$ 由所有奇数组成。在这个关系下 $[7],[9]$ 和 $[1]$ 都表示 $\mathbb {Z} /\mathrm {\sim }$ 的同一个元素。
有理数可以构造为整数的有序对 $(a,b)$ 的等价类的集合， $b$ 不能为零，这里的等价关系定义为

(a,b)\sim (c,d)

当且仅当

ad=bc

。

这里的有序对

(a,b)

的等价类可以被认同于有理数

a/b

。

任何函数 $f:X\rightarrow Y$ 定义在X上的等价关系，通过 $x_{1}\sim x_{2}$ 当且仅当 $f(x_{1})=f(x_{2})$ 。 $x$ 的等价类是在 $X$ 中被映射到 $f(x)$ 的所有元素的集合，就是说，类 $[x]$ 是 $f(x)$ 的逆像。这个等价关系叫做 $f$ 的核。
给定群 $G$ 和子群 $H$ ，我们可以定义在 $G$ 上的等价关系，通过 $x\sim y$ 当且仅当 $xy^{-1}\in H$ 。这个等价类叫做H在G中的右陪集；其中之一是 $H$ 自身。它们都有同样数目的元素（在无限 $H$ 的情况下是势）。如果 $H$ 是正规子群，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
连续映射 $f$ 的同伦类是所有同伦于 $f$ 的所有映射的等价类。
在自然语言处理中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质

因为等价关系的 $a$ 在 $[a]$ 中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成 $X$ 的划分：所有 $X$ 的元素属于一且唯一的等价类。反过来， $X$ 的所有划分也定义了在 $X$ 上等价关系。

它还得出等价关系的性质

a\sim b

当且仅当

[a]=[b]

。

如果 $\sim$ 是在 $X$ 上的等价关系，而 $P(x)$ 是 $x$ 的元素的一个性质，使得只要 $x\sim y,P(x)$ 为真如果 $P(y)$ 为真，则性质 $P$ 被称为良好定义的或在关系 $\sim$ 下“类恒定”的。常见特殊情况出现在 $f$ 是从 $X$ 到另一个集合 $Y$ 的时候；如果 $x_{1}\sim x_{2}$ 蕴涵 $f(x_{1})=f(x_{2})$ 则 $f$ 被称为在 $\sim$ 下恒定的类，或简单称为在 $\sim$ 下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数 $f$ 的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不變量。

参见

等价关系

@@ 第1行： / 第1行： @@
+{{unreferenced|time=2015-09-22T03:08:32+00:00}}
-在[[数学]]中，给定一个[[集合]] ''X'' 和在 ''X'' 上的一个[[等价关系]] ~，则 ''X'' 中的一个元素 ''a'' 的'''等价类'''是在 ''X'' 中等价于 ''a'' 的所有元素的[[子集]]:
+{{NoteTA
-:[a] = { ''x'' &isin; ''X'' | ''x'' ~ ''a'' }
+|G1 = Math
+}}
+{{not|等价关系}}
+在[[数学]]中，假設在一个[[集合 (数学)|集合]]<math>X</math>上定義一个[[等价关系]]（用<math> \sim</math>來表示），则<math>X</math>中的某個元素<math>a</math>的'''等价类'''就是在<math>X</math>中等价于<math>a</math>的所有元素所形成的[[子集]]:
+:<math>[a] = \{ x \in X | x \sim a \}</math>。
-等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造集合。在 ''X'' 中的给定等价关系 ~ 的所有等价类的集合表示为 ''X'' / ~ 并叫做 ''X''除以 ~ 的'''商集'''。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字"商"和这种记法都是模仿的除法。
+等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在<math>X</math>中的给定等价关系<math> \sim</math>的所有等价类的集合表示为<math>X / \mathrm{\sim}</math>并叫做<math>X</math>除以<math>\sim</math>的'''商集'''。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果<math>X</math>是有限的并且等价类都是[[等势]]的，则<math>X / \mathrm{\sim}</math>的序是<math>X</math>的[[序]]除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合<math>X</math>。
+对于任何等价关系，都有从<math>X</math>到<math>X / \mathrm{\sim}</math>的一个'''规范投影映射'''<math>\pi</math>，给出为<math>\pi(x) = [x]</math>。这个映射总是[[满射]]的。在<math>X</math>有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是[[良好定义]]的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个[[范畴论 (数学)|范畴]]的对象；从<math>a</math>到<math>[a]</math>的[[映射]]则是在这个范畴内的[[态射|满态射]]。参见[[同余关系]]。
-{{mathstub}}
+== 例子 ==
-[[category:集合论]]
+* 如果<math>X</math>是轿车的集合，而<math>\sim</math> 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。<math>X / \mathrm{\sim}</math> 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
+* 考虑在整数集合<math>\mathbb{Z}</math>上的“[[模]]<math>2</math>” ﹝見[[同餘]]﹞等价关系: <math>x \sim y</math>当且仅当<math>x - y</math>是[[偶数]]。这个关系精确的引发两个等价类: <math>[0]</math>由所有偶数组成，<math>[1]</math>由所有奇数组成。在这个关系下<math>[7],[9]</math>和<math>[1]</math>都表示<math>\mathbb{Z} / \mathrm{\sim}</math>的同一个元素。
+* [[有理数]]可以构造为整数的有序对 <math>(a, b)</math>的等价类的集合，<math>b</math>不能为零，这里的等价关系定义为
+:: <math>(a, b) \sim (c, d)</math>当且仅当<math>ad = bc</math>。
+: 这里的有序对 <math>(a, b)</math>的等价类可以被认同于有理数<math>a/b</math>。
+* 任何[[函数]]<math>f: X \rightarrow Y</math>定义在X上的等价关系，通过<math>x_{1} \sim x_{2}</math> [[当且仅当]]<math>f(x_{1}) = f(x_{2})</math>。<math>x</math>的等价类是在<math>X</math>中被映射到<math>f(x)</math>的所有元素的集合，就是说，类<math>[x]</math>是<math>f(x)</math>的[[像 (數學)|逆像]]。这个等价关系叫做<math>f</math>的[[函数的核|核]]。
+* 给定[[群]]<math>G</math>和[[群|子群]]<math>H</math>，我们可以定义在<math>G</math>上的等价关系，通过<math>x \sim y</math>当且仅当<math>xy^{-1} \in H</math>。这个等价类叫做H在G中的右[[陪集]]；其中之一是<math>H</math>自身。它们都有同样数目的元素（在[[无限集合|无限]]<math>H</math>的情况下是[[势 (数学)|势]]）。如果<math>H</math>是[[群|正规子群]]，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
+* 所有群都可以划分成叫做[[共轭类]]的等价类。
+* [[连续函数|连续]]映射<math>f</math>的[[同伦]]类是所有同伦于<math>f</math>的所有映射的等价类。
+* 在[[自然语言处理]]中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。
+== 性质 ==
-[[da:Ækvivalensklasse]]
+因为等价关系的<math>a</math>在<math>[a]</math>中和任何两个等价类要么相等要么[[不交集|不相交]]的性质。得出X的所有等价类的集合形成<math>X</math>的[[集合划分|划分]]：所有<math>X</math>的元素属于一且唯一的等价类。反过来，<math>X</math>的所有划分也定义了在<math>X</math>上等价关系。
-[[de:Äquivalenzklasse]]
-[[en:Equivalence class]]
+它还得出等价关系的性质
-[[it:Classe di equivalenza]]
+:<math>a \sim b</math>当且仅当<math>[a] = [b]</math>。
-[[es:Clase de equivalencia]]
-[[pl:Klasa abstrakcji]]
+如果<math>\sim</math>是在<math>X</math>上的等价关系，而<math>P(x)</math>是<math>x</math>的元素的一个性质，使得只要<math>x \sim y, P(x)</math>为真如果<math>P(y)</math>为真，则性质<math>P</math>被称为[[良好定义]]的或在关系<math>\sim</math>下“类恒定”的。常见特殊情况出现在<math>f</math>是从<math>X</math>到另一个集合<math>Y</math>的时候；如果<math>x_{1} \sim x_{2}</math>蕴涵<math>f(x_{1}) = f(x_{2})</math>则<math>f</math>被称为在<math>\sim</math>下恒定的类，或简单称为在<math>\sim</math>下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数<math>f</math>的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见[[不變量]]。
+== 参见 ==
+* [[等价关系]]
+[[category:数学关系]]