等价类：修订间差异

删除的内容添加的内容

行内

2021年12月14日 (二) 03:30的最新版本

在数学中，假設在一个集合 $X$ 上定義一个等价关系（用 $\sim$ 來表示），则 $X$ 中的某個元素 $a$ 的等价类就是在 $X$ 中等价于 $a$ 的所有元素所形成的子集:

[a]=\{x\in X|x\sim a\}

。

等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在 $X$ 中的给定等价关系 $\sim$ 的所有等价类的集合表示为 $X/\mathrm {\sim }$ 并叫做 $X$ 除以 $\sim$ 的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果 $X$ 是有限的并且等价类都是等势的，则 $X/\mathrm {\sim }$ 的序是 $X$ 的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合 $X$ 。

对于任何等价关系，都有从 $X$ 到 $X/\mathrm {\sim }$ 的一个规范投影映射 $\pi$ ，给出为 $\pi (x)=[x]$ 。这个映射总是满射的。在 $X$ 有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从 $a$ 到 $[a]$ 的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。

例子

如果 $X$ 是轿车的集合，而 $\sim$ 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。 $X/\mathrm {\sim }$ 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
考虑在整数集合 $\mathbb {Z}$ 上的“模 $2$ ” ﹝見同餘﹞等价关系: $x\sim y$ 当且仅当 $x-y$ 是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: $[0]$ 由所有偶数组成， $[1]$ 由所有奇数组成。在这个关系下 $[7],[9]$ 和 $[1]$ 都表示 $\mathbb {Z} /\mathrm {\sim }$ 的同一个元素。
有理数可以构造为整数的有序对 $(a,b)$ 的等价类的集合， $b$ 不能为零，这里的等价关系定义为

(a,b)\sim (c,d)

当且仅当

ad=bc

。

这里的有序对

(a,b)

的等价类可以被认同于有理数

a/b

。

任何函数 $f:X\rightarrow Y$ 定义在X上的等价关系，通过 $x_{1}\sim x_{2}$ 当且仅当 $f(x_{1})=f(x_{2})$ 。 $x$ 的等价类是在 $X$ 中被映射到 $f(x)$ 的所有元素的集合，就是说，类 $[x]$ 是 $f(x)$ 的逆像。这个等价关系叫做 $f$ 的核。
给定群 $G$ 和子群 $H$ ，我们可以定义在 $G$ 上的等价关系，通过 $x\sim y$ 当且仅当 $xy^{-1}\in H$ 。这个等价类叫做H在G中的右陪集；其中之一是 $H$ 自身。它们都有同样数目的元素（在无限 $H$ 的情况下是势）。如果 $H$ 是正规子群，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。
连续映射 $f$ 的同伦类是所有同伦于 $f$ 的所有映射的等价类。
在自然语言处理中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。

性质

因为等价关系的 $a$ 在 $[a]$ 中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成 $X$ 的划分：所有 $X$ 的元素属于一且唯一的等价类。反过来， $X$ 的所有划分也定义了在 $X$ 上等价关系。

它还得出等价关系的性质

a\sim b

当且仅当

[a]=[b]

。

如果 $\sim$ 是在 $X$ 上的等价关系，而 $P(x)$ 是 $x$ 的元素的一个性质，使得只要 $x\sim y,P(x)$ 为真如果 $P(y)$ 为真，则性质 $P$ 被称为良好定义的或在关系 $\sim$ 下“类恒定”的。常见特殊情况出现在 $f$ 是从 $X$ 到另一个集合 $Y$ 的时候；如果 $x_{1}\sim x_{2}$ 蕴涵 $f(x_{1})=f(x_{2})$ 则 $f$ 被称为在 $\sim$ 下恒定的类，或简单称为在 $\sim$ 下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数 $f$ 的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不變量。

参见

等价关系

@@ 第1行： / 第1行： @@
+{{unreferenced|time=2015-09-22T03:08:32+00:00}}
-{{translation}}
+{{NoteTA
-在[[数学]]中，给定一个[[集合]] ''X'' 和在 ''X'' 上的一个[[等价关系]] ~，则 ''X'' 中的一个元素 ''a'' 的'''等价类'''是在 ''X'' 中等价于 ''a'' 的所有元素的[[子集]]:
+|G1 = Math
-:[a] = { ''x'' &isin; ''X'' | ''x'' ~ ''a'' }
+}}
+{{not|等价关系}}
+在[[数学]]中，假設在一个[[集合 (数学)|集合]]<math>X</math>上定義一个[[等价关系]]（用<math> \sim</math>來表示），则<math>X</math>中的某個元素<math>a</math>的'''等价类'''就是在<math>X</math>中等价于<math>a</math>的所有元素所形成的[[子集]]:
+:<math>[a] = \{ x \in X | x \sim a \}</math>。
-等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造集合。在 ''X'' 中的给定等价关系 ~ 的所有等价类的集合表示为 ''X'' / ~ 并叫做 ''X'' 除以 ~ 的'''商集'''。这种运算可以(实际上非常不正式的)被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是如果 ''X'' 是有限的并且等价类都是[[等势]]的，则 ''X''/~ 的序是 ''X'' 的序除以一个等价类的序的商。商集要被认为是带有所有等价点都识别出来的集合 ''X''。
+等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在<math>X</math>中的给定等价关系<math> \sim</math>的所有等价类的集合表示为<math>X / \mathrm{\sim}</math>并叫做<math>X</math>除以<math>\sim</math>的'''商集'''。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果<math>X</math>是有限的并且等价类都是[[等势]]的，则<math>X / \mathrm{\sim}</math>的序是<math>X</math>的[[序]]除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合<math>X</math>。
-对于任何等价关系，都有从 ''X'' 到 ''X''/~ 的一个'''规范投影映射''' π，给出为 π(''x'') = [''x'']。这个映射总是[[满射]]的。在 ''X'' 有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系。接着称这个结构是[[良好定义]]的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个[[范畴论 (数学)|范畴]]的对象；从 ''a'' 到 [''a''] 的[[映射]]则是在这个范畴内的[[态射|满态射]]。参见[[同余关系]]。
+对于任何等价关系，都有从<math>X</math>到<math>X / \mathrm{\sim}</math>的一个'''规范投影映射'''<math>\pi</math>，给出为<math>\pi(x) = [x]</math>。这个映射总是[[满射]]的。在<math>X</math>有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是[[良好定义]]的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个[[范畴论 (数学)|范畴]]的对象；从<math>a</math>到<math>[a]</math>的[[映射]]则是在这个范畴内的[[态射|满态射]]。参见[[同余关系]]。
 == 例子 ==
-* 如果 ''X'' 是轿车的集合，而 ~ 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。''X'' / ~ 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
+* 如果<math>X</math>是轿车的集合，而<math>\sim</math> 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。<math>X / \mathrm{\sim}</math> 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。
-* 考虑在整数集合 '''Z''' 上的“[[模]] 2”等价关系: ''x''~''y'' 当且仅当 ''x''-''y'' 是[[偶数]]。这个关系精确的引发两个等价类: [0] 由所有偶数组成，[1] 由所有奇数组成。在这个关系下 [7] [9] 和 [1] 都表示 '''Z''' / ~ 的同一个元素。
+* 考虑在整数集合<math>\mathbb{Z}</math>上的“[[模]]<math>2</math>” ﹝見[[同餘]]﹞等价关系: <math>x \sim y</math>当且仅当<math>x - y</math>是[[偶数]]。这个关系精确的引发两个等价类: <math>[0]</math>由所有偶数组成，<math>[1]</math>由所有奇数组成。在这个关系下<math>[7],[9]</math>和<math>[1]</math>都表示<math>\mathbb{Z} / \mathrm{\sim}</math>的同一个元素。
+* [[有理数]]可以构造为整数的有序对 <math>(a, b)</math>的等价类的集合，<math>b</math>不能为零，这里的等价关系定义为
-* The [[rational number]]s can be constructed as the set of equivalence classes of ordered pairs of integers (''a'',''b'') with ''b'' not zero, where the equivalence relation is defined by
-:: (''a'',''b'') ~ (''c'',''d'') if and only if ''ad'' = ''bc''.
+:: <math>(a, b) \sim (c, d)</math>当且仅当<math>ad = bc</math>。
+: 这里的有序对 <math>(a, b)</math>的等价类可以被认同于有理数<math>a/b</math>。
-:Here the equivalence class of the pair (''a'',''b'') can be identified with rational number ''a''/''b''.
+* 任何[[函数]]<math>f: X \rightarrow Y</math>定义在X上的等价关系，通过<math>x_{1} \sim x_{2}</math> [[当且仅当]]<math>f(x_{1}) = f(x_{2})</math>。<math>x</math>的等价类是在<math>X</math>中被映射到<math>f(x)</math>的所有元素的集合，就是说，类<math>[x]</math>是<math>f(x)</math>的[[像 (數學)|逆像]]。这个等价关系叫做<math>f</math>的[[函数的核|核]]。
-* Any [[function (mathematics)|function]] ''f'' : ''X'' → ''Y'' defines an equivalence relation on ''X'' by ''x''<sub>1</sub> ~ ''x''<sub>2</sub> [[if and only if]] ''f''(''x''<sub>1</sub>) = ''f''(''x''<sub>2</sub>). The equivalence class of ''x'' is the set of all elements in ''X'' which get mapped to ''f''(''x''), i.e. the class [''x''] is the [[inverse image]] of ''f''(''x''). This equivalence relation is known as the [[kernel of a function|kernel]] of ''f''.
+* 给定[[群]]<math>G</math>和[[群|子群]]<math>H</math>，我们可以定义在<math>G</math>上的等价关系，通过<math>x \sim y</math>当且仅当<math>xy^{-1} \in H</math>。这个等价类叫做H在G中的右[[陪集]]；其中之一是<math>H</math>自身。它们都有同样数目的元素（在[[无限集合|无限]]<math>H</math>的情况下是[[势 (数学)|势]]）。如果<math>H</math>是[[群|正规子群]]，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。
-* Given a [[group (mathematics)|group]] ''G'' and a [[subgroup]] ''H'', we can define an equivalence relation on ''G'' by ''x'' ~ ''y'' if and only if ''xy''<sup>&nbsp;-1</sup> ∈ ''H''. The equivalence classes are known as right [[coset]]s of ''H'' in ''G''; one of them is ''H'' itself. They all have the same number of elements (or [[cardinality]] in the case of an [[infinite]] ''H''). If ''H'' is a [[normal subgroup]], then the set of all cosets is itself a group in a natural way.
+* 所有群都可以划分成叫做[[共轭类]]的等价类。
-* Every group can be partitioned into equivalence classes called [[conjugacy class]]es.
+* [[连续函数|连续]]映射<math>f</math>的[[同伦]]类是所有同伦于<math>f</math>的所有映射的等价类。
-* The [[homotopy]] class of a [[continuous function|continuous]] map ''f'' is the equivalence class of all maps homotopic to ''f''.
+* 在[[自然语言处理]]中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。
-* In [[natural language processing]], an equivalence class is a set of all references to a single person, place, thing, or event, either real or conceptual. For example, in the sentence "GE shareholders will vote for a successor to the company's outgoing CEO Jack Welch", ''GE'' and ''the company'' are synonymous, and thus constitute one equivalence class. There are separate equivalence classes for ''GE shareholders'' and ''Jack Welch''.
 == 性质 ==
+因为等价关系的<math>a</math>在<math>[a]</math>中和任何两个等价类要么相等要么[[不交集|不相交]]的性质。得出X的所有等价类的集合形成<math>X</math>的[[集合划分|划分]]：所有<math>X</math>的元素属于一且唯一的等价类。反过来，<math>X</math>的所有划分也定义了在<math>X</math>上等价关系。
+它还得出等价关系的性质
-Because of the properties of an equivalence relation it holds that ''a'' is in [''a''] and that any two equivalence classes are either equal or [[disjoint sets|disjoint]]. It follows that the set of all equivalence classes of ''X'' forms a [[partition of a set|partition]] of ''X'': every element of ''X'' belongs to one and only one equivalence class. Conversely every partition of ''X'' also defines an equivalence relation over ''X''.
+:<math>a \sim b</math>当且仅当<math>[a] = [b]</math>。
+如果<math>\sim</math>是在<math>X</math>上的等价关系，而<math>P(x)</math>是<math>x</math>的元素的一个性质，使得只要<math>x \sim y, P(x)</math>为真如果<math>P(y)</math>为真，则性质<math>P</math>被称为[[良好定义]]的或在关系<math>\sim</math>下“类恒定”的。常见特殊情况出现在<math>f</math>是从<math>X</math>到另一个集合<math>Y</math>的时候；如果<math>x_{1} \sim x_{2}</math>蕴涵<math>f(x_{1}) = f(x_{2})</math>则<math>f</math>被称为在<math>\sim</math>下恒定的类，或简单称为在<math>\sim</math>下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数<math>f</math>的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见[[不變量]]。
-It also follows from the properties of an equivalence relation that
-:: ''a'' ~ ''b'' if and only if [''a''] = [''b''].
+== 参见 ==
-If ~ is an equivalence relation on ''X'', and ''P''(''x'') is a property of elements of ''x'', such that whenever ''x'' ~ ''y'', ''P''(''x'') is true if ''P''(''y'') is true, then the property ''P'' is said to be [[well-defined]] or a ''class invariant'' under the relation ~. A frequent particular case occurs when ''f'' is a function from ''X'' to another set ''Y''; if ''x''<sub>1</sub> ~ ''x''<sub>2</sub> implies ''f''(''x''<sub>1</sub>) = ''f''(''x''<sub>2</sub>) then ''f'' is said to be a class invariant under ~, or simply invariant under ~. This occurs, e.g. in the character theory of finite groups. The latter case with the function ''f'' can be expressed by a commutative triangle. See also [[invariant (mathematics)|invariant]].
+* [[等价关系]]
+[[category:数学关系]]
-==参见==
-*[[等价关系]]
-[[category:集合论]]
-[[da:Ækvivalensklasse]]
-[[de:Äquivalenzklasse]]
-[[en:Equivalence class]]
-[[it:Classe di equivalenza]]
-[[es:Clase de equivalencia]]
-[[pl:Klasa abstrakcji]]