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单元素集合:修订间差异

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[[数学]]上,'''单元素集合'''是由[[唯一]]一个元素组成的[[集合]]。例如,集合 {0} 是个单元素集合。注意,集合诸如 <nowiki>{{1,2,3}}</nowiki> 也是单元素集合,唯一的元素是一个集合(这个集合可能本身不是单元素集合)。
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一个集合是单元素集合,[[当且仅当]]它的[[]]为[[1]]。在[[自然数]]的集合论定义中,数字 1 就是''定义''为单元素集合 {0}。
一个集合是单元素集合,[[当且仅当]]它的[[基数 (数学)|基数]]为[[1]]。在[[自然数]]的集合论定义中,数字 1 就是''定义''为单元素集合 {0}。


在[[公理集合论]]中,单元素集合的存在性是[[空集公理]]和[[对集公理]]的结果:前者产生了[[空集]] {},后者应用于对集 {} 和 {},产生了单元素集合 {{}}。
在[[公理集合论]]中,单元素集合的存在性是[[空集公理]]和[[对集公理]]的结果:前者产生了[[空集]] {},后者应用于对集 {} 和 {},产生了单元素集合 {{}}。
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* 任意单元素集合都能够转化成[[群]](唯一的元素作为[[单位元]])。这些单元素是[[群范畴]]的零对象。群范畴中没有其它零对象或终对象。
* 任意单元素集合都能够转化成[[群]](唯一的元素作为[[单位元]])。这些单元素是[[群范畴]]的零对象。群范畴中没有其它零对象或终对象。


== 参见 ==
[[Category:集合論基本概念]]
* [[类 (数学)]]


== 参考来源 ==
[[ca:Singletó]]
== 參考資料 ==
[[en:Singleton (mathematics)]]
{{reflist}}
[[es:Singulete]]

[[it:Singoletto]]
[[Category:集合論基本概念|D]]
[[pt:Conjunto unitário]]
[[Category:一]]

2022年6月9日 (四) 09:17的最新版本

数学上,单元素集合是由唯一一个元素组成的集合[1]例如,集合 {0} 是个单元素集合。注意,集合诸如 {{1,2,3}} 也是单元素集合,唯一的元素是一个集合(这个集合可能本身不是单元素集合)。

一个集合是单元素集合,当且仅当它的基数1。在自然数的集合论定义中,数字 1 就是定义为单元素集合 {0}。

公理集合论中,单元素集合的存在性是空集公理对集公理的结果:前者产生了空集 {},后者应用于对集 {} 和 {},产生了单元素集合 {{}}。

A 是任意集合,S 是单元素集合,则存在唯一一个从 AS函数,该函数将所有 A 中的元素映射到 S 的单元素。

范畴论中,单元素集合上构建的结构通常作为终对象零对象

  • 上述说明所有单元素集合 S 都是集合范畴终对象。该范畴中没有其它终对象。
  • 任意单元素集合都能够转化成拓扑空间(所有子集都是开集)。这些单元素拓扑空间是拓扑空间范畴的终对象。该范畴中没有其它终对象。
  • 任意单元素集合都能够转化成(唯一的元素作为单位元)。这些单元素是群范畴的零对象。群范畴中没有其它零对象或终对象。

参见

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参考来源

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參考資料

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  1. ^ Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. 1961: 5–6.