黑格纳数:修订间差异
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讓<math>n</math>取值0,... 39時等效,而Rabinowitz<ref>Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.</ref>證明了 |
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在<math>n=0,\dots,p-2</math>時,多項式為質數的[[充份必要條件]]為其判別式<math>1-4p</math>等於負的黑格纳数。 |
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(若代入<math>p-1</math>會得到<math>p^2</math>一定不是質數,因此最大值只能取到<math>p-2</math>) |
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1, 2和3不符合要求,因此符合條件的黑格纳数為<math>7, 11, 19, 43, 67, 163</math>,也就表示可以讓歐拉公式產生質數的 |
1, 2和3不符合要求,因此符合條件的黑格纳数為<math>7, 11, 19, 43, 67, 163</math>,也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為<math>2,3,5,11,17,41</math>,這些數字被{{le|弗朗索瓦·勒·利奥奈|François Le Lionnais}}稱為{{le|歐拉的幸運數|lucky numbers of Euler}}<ref>Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.</ref>。 |
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==拉马努金常数== |
==拉马努金常数== |
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拉马努金常数是<math>e^{\pi \sqrt{163}}</math>的值,是[[超越數]]<ref>{{ |
拉马努金常数是<math>e^{\pi \sqrt{163}}</math>的值,是[[超越數]]<ref>{{cite mathworld|title=Transcendental Number|urlname=TranscendentalNumber}} gives <math>e^{\pi\sqrt{d}}, d \in Z^*</math>, based on |
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Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.</ref>,但[[接近整数|非常接近整数]]: |
Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.</ref>,但[[接近整数|非常接近整数]]: |
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==參考資料== |
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黑格纳数(Heegner number)指滿足以下性質,非平方數的正整數:其虚二次域Q(√−d)的類数为1,亦即其整數環為唯一分解整環[註解 1][1]。
黑格纳数只有以下九個: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。(OEIS數列A003173)
高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個,但未提出證明,1952年庫爾特·黑格納提出不完整的證明,後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明,即為斯塔克–黑格納定理。
歐拉的質數多項式
[编辑]歐拉的質數多項式如下:
在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數,這相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.
歐拉公式,取值為1,... 40和以下的多項式
讓取值0,... 39時等效,而Rabinowitz[2]證明了
在時,多項式為質數的充份必要條件為其判別式等於負的黑格纳数。
(若代入會得到一定不是質數,因此最大值只能取到)
1, 2和3不符合要求,因此符合條件的黑格纳数為,也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為,這些數字被弗朗索瓦·勒·利奥奈稱為歐拉的幸運數[3]。
拉马努金常数
[编辑]這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現[5],在1975年愚人節的《科学美国人》[6],《數學遊戲》的專欄作家马丁·加德纳故意聲稱這個數字其實是整數,而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也預測了這個數很接近整數,因此以他的名字來命名。
這個巧合可以用j-invariant的複數乘法及q展開來表示。
註解
[编辑]- ^ Q(√−d)的整數環為唯一分解整環,也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式,例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環,因為6可以以兩種方式在 中表成整數乘積: 和 。
參考資料
[编辑]- ^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.
- ^ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
- ^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). gives , based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
- ^ Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.
- ^ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.
外部連結
[编辑]- 埃里克·韦斯坦因. Heegner Number. MathWorld.
- Sloane, N.J.A. (编). Sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld (页面存档备份,存于互联网档案馆): Detailed history of problem.
- Clark, Alex. 163 and Ramanujan Constant. Numberphile. Brady Haran. [2013-10-08]. (原始内容存档于2013-05-16).