黑格纳数：修订间差异

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2022年11月23日 (三) 03:58的最新版本

黑格纳数（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數的正整數：其虚二次域Q(√−d)的類数为1，亦即其整數環為唯一分解整環^{[註解 1]}^[1]。

黑格纳数只有以下九個： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS數列A003173）

高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年庫爾特·黑格納（英语：Kurt Heegner）提出不完整的證明，後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明，即為斯塔克–黑格納定理（英语：Stark–Heegner theorem）。

歐拉的質數多項式

歐拉的質數多項式如下：

n^{2}+n+41,\,

在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數，這相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式， $n$ 取值為1,... 40和以下的多項式

n^{2}+n+41,\,

讓 $n$ 取值0,... 39時等效，而Rabinowitz^[2]證明了

n^{2}+n+p\,

在 $n=0,\dots ,p-2$ 時，多項式為質數的充份必要條件為其判別式 $1-4p$ 等於負的黑格纳数。

（若代入 $p-1$ 會得到 $p^{2}$ 一定不是質數，因此最大值只能取到 $p-2$ ）

1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格纳数為 $7,11,19,43,67,163$ ，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為 $2,3,5,11,17,41$ ，這些數字被弗朗索瓦·勒·利奥奈（英语：François Le Lionnais）稱為歐拉的幸運數（英语：lucky numbers of Euler）^[3]。

拉马努金常数

拉马努金常数是 $e^{\pi {\sqrt {163}}}$ 的值，是超越數^[4]，但非常接近整数：

e^{\pi {\sqrt {163}}}=262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots

這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現^[5]，在1975年愚人節的《科学美国人》^[6]，《數學遊戲》的專欄作家马丁·加德纳故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。

這個巧合可以用j-invariant（英语：j-invariant）的複數乘法（英语：complex multiplication）及q展開來表示。

註解

^ Q(√−d)的整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中表成整數乘積： $2\times 3$ 和 $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。

參考資料

^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.
^ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
^ Weisstein, Eric W. (编). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. gives $e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}$ , based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
^ Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.
^ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.

外部連結

埃里克·韦斯坦因. Heegner Number. MathWorld.
Sloane, N.J.A. (编). Sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld （页面存档备份，存于互联网档案馆）: Detailed history of problem.
Clark, Alex. 163 and Ramanujan Constant. Numberphile. Brady Haran. [2013-10-08]. （原始内容存档于2013-05-16）.

[1] Q(√−d)的整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中表成整數乘積： $2\times 3$ 和 $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。

[2] Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.

[3] Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.

[4] Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.

[5] Weisstein, Eric W. (编). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. gives $e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}$ , based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.

[6] Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.

[7] Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.

[註解 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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 {{expert|time=2016-12-28T11:44:22+00:00}}
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-'''黑格纳数'''指一些非[[平方數]]的正[[整數]]，其[[二次域|虚二次域]]Q(√−d)的[[理想類群|類数]]为1，亦即其[[整數環]]為[[唯一分解整環]]<ref group="註解">Q(√−d)的整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 中表成整數乘積：<math>2\times 3</math> 和 <math>(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>。</ref><ref>{{cite book
+'''黑格纳数'''（Heegner number）指滿足以下性質，非[[平方數]]的正[[整數]]：其[[二次域|虚二次域]]Q(√−d)的[[理想類群|類数]]为1，亦即其[[整數環]]為[[唯一分解整環]]<ref group="註解">Q(√−d)的整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 中表成整數乘積：<math>2\times 3</math> 和 <math>(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>。</ref><ref>{{cite book
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+黑格纳数-{只}-有以下九個：
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 歐拉的[[素数公式|質數多項式]]如下：
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+在''n''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;...,&nbsp;40時會產生不同的40個質數，這相关于黑格纳数163&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;·&nbsp;41&nbsp;−&nbsp;1.
 歐拉公式，<math>n</math>取值為1,... 40和以下的多項式
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 讓<math>n</math>取值0,... 39時等效，而Rabinowitz<ref>Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.</ref>證明了
 :<math>n^2 + n + p \, </math>
-在<math>n=0,\dots,p-2</math>時，多項式為質數的[[充份必要條件]]為其判別式<math>1-4p^2</math>等於負的黑格纳数。
+在<math>n=0,\dots,p-2</math>時，多項式為質數的[[充份必要條件]]為其判別式<math>1-4p</math>等於負的黑格纳数。
 （若代入<math>p-1</math>會得到<math>p^2</math>一定不是質數，因此最大值只能取到<math>p-2</math>）
-, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格纳数為<math>7, 11, 19, 43, 67, 163</math>，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的n為<math>2,3,5,11,17,41</math>，這些數字被{{le|弗朗索瓦·勒·利奥奈|François Le Lionnais}}稱為{{le|歐拉的幸運數|lucky numbers of Euler}}<ref>Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.</ref>。
+, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格纳数為<math>7, 11, 19, 43, 67, 163</math>，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為<math>2,3,5,11,17,41</math>，這些數字被{{le|弗朗索瓦·勒·利奥奈|François Le Lionnais}}稱為{{le|歐拉的幸運數|lucky numbers of Euler}}<ref>Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.</ref>。
 ==拉马努金常数==
-拉马努金常数是<math>e^{\pi \sqrt{163}}</math>的值，是[[超越數]]<ref>{{MathWorld|title=Transcendental Number|urlname=TranscendentalNumber}} gives <math>e^{\pi\sqrt{d}}, d \in Z^*</math>, based on
+拉马努金常数是<math>e^{\pi \sqrt{163}}</math>的值，是[[超越數]]<ref>{{cite mathworld|title=Transcendental Number|urlname=TranscendentalNumber}} gives <math>e^{\pi\sqrt{d}}, d \in Z^*</math>, based on
 Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.</ref>，但[[接近整数|非常接近整数]]：
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   | first = John D
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@@ 第59行： / 第62行： @@
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-</ref>，"數學遊戲"的專欄作家[[马丁·加德纳]]故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才[[斯里尼瓦瑟·拉马努金]]也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。
+</ref>，《數學遊戲》的專欄作家[[马丁·加德纳]]故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才[[斯里尼瓦瑟·拉马努金]]也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。
 這個[[数学巧合|巧合]]可以用{{le|j-invariant|j-invariant}}的{{le|複數乘法|complex multiplication}}及[[q展開]]來表示。
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-* [http://www.ams.org/bull/1985-13-01/S0273-0979-1985-15352-2/S0273-0979-1985-15352-2.pdf Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld]: Detailed history of problem.
+* [http://www.ams.org/bull/1985-13-01/S0273-0979-1985-15352-2/S0273-0979-1985-15352-2.pdf Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld] {{Wayback|url=http://www.ams.org/bull/1985-13-01/S0273-0979-1985-15352-2/S0273-0979-1985-15352-2.pdf |date=20090816040035 }}: Detailed history of problem.
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+* {{cite web|last=Clark|first=Alex|title=163 and Ramanujan Constant|url=http://www.numberphile.com/videos/163.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|access-date=2013-10-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20130516045906/http://www.numberphile.com/videos/163.html|archive-date=2013-05-16|dead-url=yes}}
 [[Category:代数数论]]