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黑格纳数:修订间差异

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'''黑格纳数'''指一些非[[平方數]]的正[[整數]]其[[二次域|虚二次域]]Q(√−d)的[[理想類群|類数]]为1,亦即其[[整數環]]為[[唯一分解整環]]<ref group="註解">Q(√−d)的整數環為唯一分解整環,也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式,例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環,因為6可以以兩種方式在 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 中表成整數乘積:<math>2\times 3</math> 和 <math>(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>。</ref><ref>{{cite book
'''黑格纳数'''(Heegner number)滿足以下性質,非[[平方數]]的正[[整數]]其[[二次域|虚二次域]]Q(√−d)的[[理想類群|類数]]为1,亦即其[[整數環]]為[[唯一分解整環]]<ref group="註解">Q(√−d)的整數環為唯一分解整環,也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式,例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環,因為6可以以兩種方式在 <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> 中表成整數乘積:<math>2\times 3</math> 和 <math>(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>。</ref><ref>{{cite book
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| coauthors = Guy, Richard K.
| coauthors = Guy, Richard K.
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黑格纳数-{只}-有以下九個:
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歐拉的[[素数公式|質數多項式]]如下:
歐拉的[[素数公式|質數多項式]]如下:


:<math>n^2 - n + 41, \, </math>
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在''n''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;...,&nbsp;40時會產生不同的40個數,這黑格纳数163&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;·&nbsp;41&nbsp;−&nbsp;1.
在''n''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;...,&nbsp;40時會產生不同的40個數,這相关于黑格纳数163&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;·&nbsp;41&nbsp;−&nbsp;1.


歐拉公式,<math>n</math>取值為1,... 40和以下的多項式
歐拉公式,<math>n</math>取值為1,... 40和以下的多項式
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讓<math>n</math>取值0,... 39時等效,而Rabinowitz<ref>Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.</ref>證明了
讓<math>n</math>取值0,... 39時等效,而Rabinowitz<ref>Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.</ref>證明了
:<math>n^2 + n + p \, </math>
:<math>n^2 + n + p \, </math>
在<math>n=0,\dots,p-2</math>時,多項式為質數的[[充份必要條件]]為其判別式<math>1-4p^2</math>等於負的黑格纳数。
在<math>n=0,\dots,p-2</math>時,多項式為質數的[[充份必要條件]]為其判別式<math>1-4p</math>等於負的黑格纳数。


(若代入<math>p-1</math>會得到<math>p^2</math>一定不是質數,因此最大值只能取到<math>p-2</math>)
(若代入<math>p-1</math>會得到<math>p^2</math>一定不是質數,因此最大值只能取到<math>p-2</math>)


1, 2和3不符合要求,因此符合條件的黑格纳数為<math>7, 11, 19, 43, 67, 163</math>,也就表示可以讓歐拉公式產生質數的n為<math>2,3,5,11,17,41</math>,這些數字被{{le|弗朗索瓦·勒·利奥奈|François Le Lionnais}}稱為{{le|歐拉的幸運數|lucky numbers of Euler}}<ref>Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.</ref>。
1, 2和3不符合要求,因此符合條件的黑格纳数為<math>7, 11, 19, 43, 67, 163</math>,也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為<math>2,3,5,11,17,41</math>,這些數字被{{le|弗朗索瓦·勒·利奥奈|François Le Lionnais}}稱為{{le|歐拉的幸運數|lucky numbers of Euler}}<ref>Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.</ref>。


==拉马努金常数==
==拉马努金常数==
拉马努金常数是<math>e^{\pi \sqrt{163}}</math>的值,是[[超越數]]<ref>{{MathWorld|title=Transcendental Number|urlname=TranscendentalNumber}} gives <math>e^{\pi\sqrt{d}}, d \in Z^*</math>, based on
拉马努金常数是<math>e^{\pi \sqrt{163}}</math>的值,是[[超越數]]<ref>{{cite mathworld|title=Transcendental Number|urlname=TranscendentalNumber}} gives <math>e^{\pi\sqrt{d}}, d \in Z^*</math>, based on
Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.</ref>,但[[接近整数|非常接近整数]]:
Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.</ref>,但[[接近整数|非常接近整数]]:


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| first = John D
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</ref>,"數學遊戲"的專欄作家[[马丁·加德纳]]故意聲稱這個數字其實是整數,而印度數學天才[[斯里尼瓦瑟·拉马努金]]也預測了這個數很接近整數,因此以他的名字來命名。
</ref>,數學遊戲的專欄作家[[马丁·加德纳]]故意聲稱這個數字其實是整數,而印度數學天才[[斯里尼瓦瑟·拉马努金]]也預測了這個數很接近整數,因此以他的名字來命名。


這個{{le|数学巧合|Mathematical coincidence|巧合}}可以用{{le|j-invariant|j-invariant}}的{{le|複數乘法|complex multiplication}}及[[q展開]]來表示。
這個[[数学巧合|巧合]]可以用{{le|j-invariant|j-invariant}}的{{le|複數乘法|complex multiplication}}及[[q展開]]來表示。


==註解==
==註解==
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* [http://www.ams.org/bull/1985-13-01/S0273-0979-1985-15352-2/S0273-0979-1985-15352-2.pdf Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld] {{Wayback|url=http://www.ams.org/bull/1985-13-01/S0273-0979-1985-15352-2/S0273-0979-1985-15352-2.pdf |date=20090816040035 }}: Detailed history of problem.
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* {{cite web|last=Clark|first=Alex|title=163 and Ramanujan Constant|url=http://www.numberphile.com/videos/163.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|access-date=2013-10-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20130516045906/http://www.numberphile.com/videos/163.html|archive-date=2013-05-16|dead-url=yes}}


[[Category:代数数论]]
[[Category:代数数论]]

2022年11月23日 (三) 03:58的最新版本

黑格纳数(Heegner number)指滿足以下性質,非平方數的正整數:其虚二次域Q(√−d)的類数为1,亦即其整數環唯一分解整環[註解 1][1]

黑格纳数只有以下九個: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。(OEIS數列A003173

高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個,但未提出證明,1952年庫爾特·黑格納英语Kurt Heegner提出不完整的證明,後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明,即為斯塔克–黑格納定理英语Stark–Heegner theorem

歐拉的質數多項式

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歐拉的質數多項式如下:

n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數,這相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式,取值為1,... 40和以下的多項式

取值0,... 39時等效,而Rabinowitz[2]證明了

時,多項式為質數的充份必要條件為其判別式等於負的黑格纳数。

(若代入會得到一定不是質數,因此最大值只能取到

1, 2和3不符合要求,因此符合條件的黑格纳数為,也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為,這些數字被弗朗索瓦·勒·利奥奈英语François Le Lionnais稱為歐拉的幸運數英语lucky numbers of Euler[3]

拉马努金常数

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拉马努金常数是的值,是超越數[4],但非常接近整数

這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現[5],在1975年愚人節的《科学美国人[6],《數學遊戲》的專欄作家马丁·加德纳故意聲稱這個數字其實是整數,而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也預測了這個數很接近整數,因此以他的名字來命名。

這個巧合可以用j-invariant英语j-invariant複數乘法英语complex multiplicationq展開來表示。

註解

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  1. ^ Q(√−d)的整數環為唯一分解整環,也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式,例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環,因為6可以以兩種方式在 中表成整數乘積:

參考資料

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  1. ^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X. 
  2. ^ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
  3. ^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
  4. ^ Weisstein, Eric W. (编). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).  gives , based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
  5. ^ Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6. 
  6. ^ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127. 

外部連結

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