极限环：修订间差异

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2023年2月12日 (日) 19:35的最新版本

在数学中，特别是在动态系统理论里，极限环是相空间里的一条闭合的（周期性的）轨迹，使得至少另一个轨迹会随自变量（如时间 $t$ ）变化而逐渐逼近它（在自变量趋于正无穷或负无穷的时候）。极限环是非线性系统特有的现象，线性系统可以有周期解（如简谐振动），但不存在极限环。在实数轴上的一维自洽系统不存在周期解，故只有二维以上或非自洽系统才会有极限环^[1]。

稳定的极限环会导致持续振荡的情况：若一开始轨迹是极限环，则关于轨迹的任意的小扰动都会导致系统重新回到极限环的状态。故稳定的极限环是一种吸引子。

范德波尔振子的稳定极限环。如图中所示，不同的初始状态最终都收敛到极限环。因此，这个系统能够维持逐渐减弱的振荡。

定义

对一个动态系统自变量 $t\in \mathbb {R}$ 和状态变量 $x\in \mathbb {R} ^{n}$ 。若该系统的解 $x(t)$ 不经过平衡点，但存在 $T>0$ 使得 $x(t)=x(t+T)$ 对任意 $t$ 成立，则 $x(t)$ 是一条封闭的轨道，或周期解。

如果当时间t $\rightarrow +\infty$ 时，所有的邻近轨迹都趋近于极限环，那么所在的流形被称为稳定的，或者称极限环是稳定的（吸引的）。反之，如果 t $\rightarrow +\infty$ 时，所有的邻近轨迹都远离于极限环，那么称流形是不稳定的或者极限环是不稳定的（非吸引的）。在所有其它情况下，流形既不是稳定也不是不稳定的。

存在性和个数

多项式型的微分方程的极限环个数是希尔伯特第十六问题第二部分的主要目标。

对于二维非线性微分方程组，本迪克森准则和庞加莱-本迪克松定理给出极限环存在（或不存在）的条件，而极限环个数或分布则是尚未得到解决的问题。

参见

参考来源

^ Strogatz 1994，第196頁.

参考书目

极限环. PlanetMath.
Steven H. Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison Wesley publishing company. 1994. ISBN 0-201-54344-3.
M. Vidyasagar, "Nonlinear Systems Analysis, second edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
Witold Hurewicz, "Lectures on Ordinary Differential Equations", Dover, 2002.
Solomon Lefschetz, "Differential Equations: Geometric Theory", Dover, 2005.
Lawrence Perko, "Differential Equations and Dynamical Systems", Springer-Verlag, 2006.

[FOOTNOTEStrogatz1994196-1] Strogatz 1994，第196頁.

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+{{NoteTA
+|G1=Math
+}}
+{{expert|数学}}<!--希望有熟悉日语的借鉴一下日语条目 -->
 [[File:Limit cycle Poincare map.svg|thumb|250px|right|稳定极限环以及相应的[[庞加莱映射]]]]
-在[[数学]]中，特别是在[[动力系统]]理论里，一个二维[[平面]]或二维[[流形]]上的的'''极限环'''是[[相空间]]里的一个闭合的[[轨迹]]，使得至少另一个轨迹会随自变量变化而逐渐逼近它（在自变量趋于正无穷或负无穷的时候）。如果当[[自变量]]（或者说[[时间]]）： ''t'' <math>\rightarrow +\infty</math> 时，所有的邻近轨迹都趋近于极限环，那么所在的流形被称为'''稳定'''的，或者称极限环是'''稳定'''的（'''吸引'''的）。反之，如果 ''t'' <math>\rightarrow -\infty</math> 时，所有的邻近轨迹都趋近于极限环，那么称流形是'''不稳定'''的或者极限环是'''不稳定'''的（'''非吸引'''的）。在所有其它情况下，流形既不是稳定也不是不稳定的。
+在[[数学]]中，特别是在[[动态系统]]理论里，'''极限环'''是[[相空间]]里的一条闭合的（[[周期函数|周期性]]的）[[轨迹]]，使得至少另一个轨迹会随自变量（如时间<math>t</math>）变化而逐渐逼近它（在自变量趋于正无穷或负无穷的时候）。极限环是非线性系统特有的现象，线性系统可以有[[周期函数|周期解]]（如[[简谐振动]]），但不存在极限环。在[[实数轴]]上的一维[[自治系统|自洽系统]]不存在周期解，故只有二维以上或非自洽系统才会有极限环{{sfn|Strogatz|1994|p=196}}。
-稳定的极限环会导致持续振荡的情况：若一开始轨迹是极限环，则关于轨迹的任意的小扰动都会导致系统重新回到极限环的状态。
+稳定的极限环会导致持续振荡的情况：若一开始轨迹是极限环，则关于轨迹的任意的小扰动都会导致系统重新回到极限环的状态。故稳定的极限环是一种[[吸引子]]。
-[[File:VanDerPolPhaseSapce.png|right|300px|thumb|[[范德波尔振子]]的稳定极限环]]
+[[File:VanDerPolPhaseSpace.png|right|300px|thumb|[[范德波尔振子]]的稳定极限环。如图中所示，不同的初始状态最终都收敛到极限环。因此，这个系统能够维持逐渐减弱的振荡。]]
-如图中所示，不同的初始状态最终都收敛到极限环。因此，这个系统能够维持逐渐减弱的振荡。
+== 定义 ==
-[[多项式]]型的微分方程的极限环个数是[[希尔伯特第十六问题]]第二部分的主要目标。关于二维非线性微分方程组的极限环存在或不存在的条件，有所谓的[[本迪克森-杜拉克定理|本迪克森准则]]和[[庞加莱-本迪克森定理]]，而极限环个数或分布则是尚未得到解决的问题。
+对一个[[动态系统]]自变量<math>t \in \mathbb{R}</math>和状态变量<math>x \in \mathbb{R}^n</math>。若该系统的解<math>x(t)</math>不经过[[平衡点]]，但存在<math>T > 0</math>使得<math>x(t)=x(t+T)</math>对任意<math>t</math>成立，则<math>x(t)</math>是一条封闭的轨道，或'''周期解'''。
+如果当时间''t'' <math>\rightarrow +\infty</math> 时，所有的邻近轨迹都趋近于极限环，那么所在的流形被称为'''稳定'''的，或者称极限环是'''稳定'''的（'''吸引'''的）。反之，如果 ''t'' <math>\rightarrow +\infty</math> 时，所有的邻近轨迹都远离于极限环，那么称流形是'''不稳定'''的或者极限环是'''不稳定'''的（'''非吸引'''的）。在所有其它情况下，流形既不是稳定也不是不稳定的。
+== 存在性和个数 ==
+[[多项式]]型的微分方程的极限环个数是[[希尔伯特第十六问题]]第二部分的主要目标。
+对于二维[[非線性系統|非线性]][[微分方程|微分方程组]]，[[本迪克森-杜拉克定理|本迪克森准则]]和[[庞加莱-本迪克松定理]]给出极限环存在（或不存在）的条件，而极限环个数或分布则是尚未得到解决的问题。
 ==参见==
+*[[吸引子]]
+*[[庞加莱映射]]
+*[[杜芬振子]]
+*[[洛特卡－沃尔泰拉方程]]
+*[[布鲁塞尔振子]]
+*[[范德波尔振荡器]]
+*[[俄勒冈振子]]
 * [[周期点]]
-* [[稳定流形]]
+* {{le|稳定流形|Stable manifold}}
-* [[双曲集合]]
+* {{le|双曲集合|Hyperbolic set}}
-==参考来源==
+== 参考来源 ==
+{{reflist}}
-* {{planetmath reference|id=6722|title=极限环}}
-* Steven H. Strogatz, "Nonlinear Dynamics and Chaos", Addison Wesley publishing company, 1994.
+==参考书目==
+* {{planetmath reference|id=6722|title=极限环|urlname=limitcycle}}
+* {{Cite book
+|author=Steven H. Strogatz
+|title= Nonlinear Dynamics and Chaos
+|publisher=Addison Wesley publishing company
+|year=1994
+|isbn=0-201-54344-3
+|ref={{Sfnref|Strogatz|1994}}
+}}
 * M. Vidyasagar, "Nonlinear Systems Analysis, second edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
 * Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
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 [[Category:微分方程]]
+[[Category:极限环]]
-[[ar:دورة حدودية]]
-[[en:Limit cycle]]
-[[fr:Cycle limite]]
-[[nl:Limietcykel]]
-[[ja:リミットサイクル]]
-[[pl:Cykl graniczny]]
-[[ru:Предельный цикл]]
-[[uk:Граничний цикл]]