阿贝尔求和公式：修订间差异

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2023年4月6日 (四) 05:06的最新版本

阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现，广泛应用于数论之中，以便用来计算级数。

恒等式

设 $a_{n}$ 为一列由实数或複數， $\phi$ 是一個連續可導函数，则

$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u$

其中 $A(x)$ 是部分和

A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\,.

而且这正是對黎曼－斯蒂尔杰斯积分运用分部积分法所得到的。

更一般情況，有

\sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.

例

欧拉-马斯刻若尼常数

设 $a_{n}=1$ ， $\phi (x)={\frac {1}{x}}$ ，則 $A(x)=\lfloor x\rfloor$ ，恆等式變為

\sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u,

因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。

黎曼ζ函数的表示

设 $a_{n}=1$ ， $\phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}$ ，則 $A(x)=\lfloor x\rfloor$ ，故

\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.

公式在 $\Re (s)>1$ 時成立，并且可以用来推导狄利克雷定理，其斷言，若以 $\zeta$ 表示黎曼ζ函数，則 $\zeta (s)$ 在s = 1處有留数为1的简单極點。

黎曼ζ函数的倒数

设 $a_{n}=\mu (n)$ ， $\mu$ 為默比乌斯函数，且 $\phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}$ ，則 $A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)$ ，故 $A$ 為梅滕斯函数，而恆等式變成

\sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.

上式在 $\Re (s)>1$ 時成立。

参见

参考文献

Apostol, Tom, Introduction to Analytic Number Theory, 数学大学生教材, Springer-Verlag, 1976 .

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+{{多個問題|
 {{no footnotes|time=2018-03-20T03:03:02+00:00}}
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+}}
-'''阿贝尔求和公式'''是由[[尼尔斯·阿贝尔]]所发现，广泛应用于[[数论]]之中，以便用来计算[[级数]].
+'''阿贝尔求和公式'''是由[[尼尔斯·阿贝尔]]所发现，广泛应用于[[数论]]之中，以便用来计算[[级数]]。
 ==恒等式==
-设<math>a_n </math>为一列由[[实数]]或[[复数]]所组成的[[序列]]，<math>\phi (x) </math>是一列[[Differentiable_function#Differentiability_classes|<math>\mathcal{C}^1 </math>]]级[[函数]]，则
+设<math>a_n </math>为一[[序列|列]]由[[实数]]或[[複數 (數學)|複數]]，<math>\phi</math>是一個[[可微函数#连续可微的分类|連續可導]][[函数]]，则
 <math>\sum_{1 \le n \le x} a_n \phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(u)\phi'(u) \, \mathrm{d}u </math>
+其中<math>A(x)</math>是部分和
-其中
 :<math>A(x):= \sum_{1 \le n \le x} a_n \,.</math>
-而且这正是在[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]之上运用[[分部积分法]]所得到的。
+而且这正是對[[黎曼－斯蒂尔杰斯积分]]运用[[分部积分法]]所得到的。
-更概况的表示，我们有
+更一般情況，有
 :<math>\sum_{x< n\le y} a_n\phi(n) = A(y)\phi(y) - A(x)\phi(x) -\int_x^y A(u)\phi'(u)\,\mathrm{d}u \,.</math>
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 ==例==
 ===欧拉-马斯刻若尼常数===
-设<math>a_n = 1 </math>，<math>\phi (x) = \frac{1}{x} \,,</math> 因而 <math>A (x) = \lfloor x \rfloor </math>
+设<math>a_n = 1 </math>，<math>\phi (x) = \frac{1}{x}</math>，則<math>A (x) = \lfloor x \rfloor </math>，恆等式變為
-:<math> \sum_1^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \, \mathrm{d}u </math>
+:<math> \sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \, \mathrm{d}u,</math>
 因此是一种可以表示[[欧拉-马斯刻若尼常数]]的方式。
 ===黎曼ζ函数的表示===
-设<math>a_n = 1 </math>，<math>\phi (x) = \frac{1}{x^s} \,,</math> 因而 <math>A (x) = \lfloor x \rfloor </math>
+设<math>a_n = 1 </math>，<math>\phi (x) = \frac{1}{x^s}</math>，則<math>A (x) = \lfloor x \rfloor </math>，故
 :<math> \sum_1^\infty \frac{1}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.</math>
-公式维持在<math>\Re(s) > 1 \,.</math>，并且可以用来推导[[狄利克雷定理]], 其为, <math>\zeta(s) </math> 具有一则在&nbsp;''s''&nbsp;=&nbsp;1的[[留数]]为&nbsp;1 的简单[[极点（复分析）]]。
+公式在<math>\Re(s) > 1</math>時成立，并且可以用来推导[[狄利克雷定理]]，其斷言，若以<math>\zeta </math>表示[[黎曼ζ函数]]，則<math>\zeta(s) </math>在''s''&nbsp;=&nbsp;1處有[[留数]]为1的简单[[极点 (复分析)|極點]]。
 ===黎曼ζ函数的倒数===
-设<math>a_n = \mu (n) </math> 是一则 [[默比乌斯函数]], <math>\phi (x) = \frac{1}{x^s} \,,</math> 因而 <math>A (x) = M(x) = \sum_{n \le x} \mu (n) </math> 是一则[[梅滕斯函数]]
+设<math>a_n = \mu (n) </math>，<math>\mu</math>為[[默比乌斯函数]]，且<math>\phi (x) = \frac{1}{x^s}</math>，則<math>A (x) = M(x) = \sum_{n \le x} \mu (n) </math>，故<math>A</math>為[[梅滕斯函数]]，而恆等式變成
 :<math> \sum_1^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = s \int_1^\infty \frac{M(u)}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.</math>
-公式维持在<math>\Re(s) > 1 \,.</math>
+上式在<math>\Re(s) > 1 </math>時成立。
 ==参见==
 *[[分部积分法]]
+*[[黎曼ζ函数]]
 ==参考文献==
 * {{citation|first=Tom|last=Apostol|authorlink=Tom Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer-Verlag|series=[[数学大学生教材]]|year=1976}}.
-[[Category:Number theory]]
-[[Category:Summability methods]]
+[[Category:数论]]
+[[Category:可和法]]