满射：修订间差异

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2023年6月26日 (一) 11:43的最新版本

满射或蓋射（英語：surjection、onto），或稱满射函数或映成函數，一个函数 $f:X\rightarrow Y$ 为满射，則对于任意的陪域 $Y$ 中的元素 $y$ ，在函数的定义域 $X$ 中存在一點 $x$ 使得 $f(x)=y$ 。换句话说， $f$ 是满射時，它的值域 $f(X)$ 与陪域 $Y$ 相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 $y\in Y$ 其原像 $f^{-1}(y)\subseteq X$ 不等於空集合。

例子和反例

函数 $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ，定义为 $g(x)=x^{2}$ ，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足 $x^{2}=-1$ 。

但是，如果把 $g$ 的陪域限制到只有非负实数，则函数 $g$ 为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数 $y$ ，我们能对 $y=x^{2}$ 求解，得到 $x=\pm {\sqrt {y}}$ 。

雙射（單射與滿射）	單射(one to one)但非滿射
滿射(onto)但非单射	非滿射非單射

性质

根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。

若將定義在 $X$ 上的函數 $f$ ，視為其圖像，即 $\{(x,f(x)):x\in X\}$ （集合論經常如此行），則滿射與否，不僅是 $f$ 的性質，而是映射（需要聲明陪域）的性質。^[1]單射與否可以單憑圖像判斷，但滿射則不同，不能單憑圖像判斷，因為要知道陪域。

右可逆函數

函數 $g:Y\to X$ 稱為函數 $f:X\to Y$ 的右逆，意思是 $f(g(y))=y$ 對 $Y$ 的所有元素 $y$ 成立。簡而言之， $g$ 的效果，可以 $f$ 復原。用文字表示， $g$ 是 $f$ 的右逆，意思是先做 $g$ 後做 $f$ 的複合 $f\circ g$ ，等於 $Y$ 上的恆等函數，即不造成任何變化。此處不要求 $g$ 是 $f$ 的真正反函數，因為另一次序的複合 $g\circ f$ ，不必是 $X$ 的恆等函數。換言之， $f$ 可以「復原」或「抵消」 $g$ ，但不必被 $g$ 復原或抵消。

若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於選擇公理，故在某些集合論中（例如假設決定公理為真的集合論系統），不必為真。

若 $f:X\to Y$ 為滿射， $B$ 為 $Y$ 的子集，則 $f(f^{\mathrm {pre} }(B))=B$ ，即從預象 $f^{\mathrm {pre} }(B)$ ，可以找回 $B$ 。

右可消去

函數 $f:X\to Y$ 是滿射，當且僅當其為右可消去（英语：right-cancellative）：^[2]給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數 $g,h:Y\to Z$ ，若 $g\circ f=h\circ f$ ，則有 $g=h$ 。此性質的敍述用到函數和複合，可以對應推廣成範疇的態射和複合。右可消的態射稱為滿態射（英语：epimorphism）或滿同態。滿射與滿態射的關係在於，滿射就是集合範疇中的滿態射。

範疇論中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射 $f$ 的右逆 $g$ 也稱為 $f$ 的截面（英语：section (category theory)）。而有右逆的態射稱為分裂滿態射（英语：split epimorphism），是一類特殊的滿態射。

作為二元關係

以 $X$ 為定義域， $Y$ 為值域的函數，可以視為兩集合之間的左全（英语：left-total relation）右唯一（英语：right-unique relation）的二元關係，因為可將函數與圖像等同。此觀點下，由 $X$ 到 $Y$ 的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。

定義域不小於陪域

滿射的定義域，必有大於或等於其陪域的基數：若 $f:X\to Y$ 為滿射，則 $X$ 的元素個數必定至少等於 $Y$ 的元素個數（在基數意義下）。但此結論的證明，需要假定選擇公理，以證明 $f$ 有右逆，即存在函數 $g:Y\to X$ 使得 $f(g(y))=y$ 對 $Y$ 的任意元素 $y$ 成立。滿足此性質的 $g$ 必為單射，故由基數大小比較的定義，有 $|Y|\leq |X|$ 。

特別地，若 $X$ 和 $Y$ 皆是有限，且兩者的元素個數相同，則 $f:X\to Y$ 是滿射當且僅當 $f$ 為單射。

給定兩個集合 $X$ 和 $Y$ ，以 $X\leq ^{*}Y$ 表示「或者 $X$ 為空，或者存在由 $Y$ 至 $X$ 的滿射」。利用選擇公理，可以證明， $X\leq ^{*}Y$ 和 $Y\leq ^{*}X$ 兩者一起，足以推出 $|Y|=|X|$ 。此為康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理的變式。

複合與分解

兩個滿射的複合仍是滿射：若 $f$ 和 $g$ 皆為滿射，且 $g$ 的陪域是 $f$ 的定義域，則 $f\circ g$ 也是滿射。反之，若 $f\circ g$ 為滿，則 $f$ 是滿射，但 $g$ 不必為滿射。與右可消去一節一樣，從集合範疇的滿射，可以推廣到一般範疇的滿態射。

任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合：對任意 $h:X\to Z$ ，都存在滿射 $f:X\to Y$ 和單射 $g:Y\to Z$ 使得 $h=g\circ f$ ，取法如下：定義 $Y$ 為所有原像 $h^{\mathrm {pre} }(z)$ 的集合，其中 $z$ 歷遍 $h$ 的值域。該些原像兩兩互斥，且劃分 $X$ 。於是， $f$ 將每個 $x$ 映到包含 $x$ 的原像（此為 $Y$ 的元素），然後 $g$ 再將 $Y$ 的每個元素（形如 $h^{\mathrm {pre} }(z)$ ）映到相應的 $z$ 。則 $f$ 為滿射（因為 $Y$ 中的元素，是原像 $h^{\mathrm {pre} }(z)$ ，且非空，故有某個 $x\in h^{\mathrm {pre} }(z)$ ，所以由 $f$ 的定義有 $f(x)=h^{\mathrm {pre} }(z)$ ），而根據 $g$ 的定義，其為單射。

導出滿射和導出雙射

任何函數，若將其陪域限制成值域，則可以視為滿射，稱為其導出滿射。任何滿射，若將定義域換成商集，即將函數值相同的參數，摺疊成同一個「等價類」，則得到一個雙射，其由等價類組成的集合，射去原函數的陪域。以符號表示，每個滿射 $f:A\to B$ 可以分解成先做一個商映射，再做一個雙射。考慮以下等價關係： $x\sim y$ 當且僅當 $f(x)=f(y)$ 。以 $A/{\sim }$ 表示此等價關係下， $A$ 的等價類的集合。換言之， $A/{\sim }$ 是 $f$ 所有原像的集合。以 $P:A\to A/{\sim }$ 表示將 $x$ 映到等價類 $[x]_{\sim }$ 的商映射，又設 $f_{P}:A/{\sim }\to B$ ，定義為 $f_{P}([x]_{\sim })=f(x)$ ，則 $f=f_{P}\circ P$ 。由定義知， $P$ 是滿射，而 $f_{P}$ 是雙射。

參考文獻

Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Springer. 2004 [1968]. ISBN 978-3-540-22525-6.

^ T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35.
^ Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓撲斯，邏輯的範疇論分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. （原始内容存档于2020-03-21）（英语）.

[1] T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35.

[2] Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓撲斯，邏輯的範疇論分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. （原始内容存档于2020-03-21）（英语）.

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-單射但非滿射
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 函數<math>g: Y \to X</math>稱為函數<math>f: X \to Y</math>的'''[[反函數|右逆]]'''，意思是<math>f (g(y)) = y </math>對<math>Y</math>的所有元素<math>y</math>成立。簡而言之，<math>g</math>的效果，可以<math>f</math>復原。用文字表示，<math>g</math>是<math>f</math>的右逆，意思是先做<math>g</math>後做<math>f</math>的[[複合函數|複合]]<math>f \circ g</math>，等於<math>Y</math>上的[[恆等函數]]，即不造成任何變化。此處不要求<math>g</math>是<math>f</math>的真正[[反函數]]，因為另一次序的[[複合函數|複合]]<math>g \circ f</math>，不必是<math>X</math>的恆等函數。換言之，<math>f</math>可以「復原」或「抵消」<math>g</math>，但不必被<math>g</math>復原或抵消。
-若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於[[選擇公理]]，故在某些集合論（例如假設{{le|確定性公理|Axiom of determinacy}}）中，不必為真。
+若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於[[選擇公理]]，故在某些集合論中（例如假設[[決定公理]]為真的集合論系統），不必為真。
 若<math>f: X \to Y</math>為滿射，<math>B</math>為<math>Y</math>的[[子集]]，則<math>f(f^\mathrm{pre}(B)) = B</math>，即從[[像 (數學)|預象]]<math>f^\mathrm{pre}(B)</math>，可以找回<math>B</math>。
-===範疇的滿態射===
+===右可消去===
 函數<math>f: X \to Y</math>是滿射，當且僅當其為{{le|右可消去|right-cancellative}}：<ref>{{Cite book
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 [[範疇論]]中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射<math>f</math>的右逆<math>g</math>也稱為<math>f</math>的'''{{le|截面 (範疇論)|section (category theory)|截面}}'''。而有右逆的態射稱為{{le|分裂滿態射|split epimorphism}}，是一類特殊的滿態射。
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 以<math>X</math>為定義域，<math>Y</math>為值域的函數，可以視為兩集合之間的{{le|左全關係|left-total relation|左全}}{{le|右唯一關係|right-unique relation|右唯一}}的二元關係，因為可將函數與[[函數圖像|圖像]]等同。此觀點下，由<math>X</math>到<math>Y</math>的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。
+===定義域不小於陪域===
+滿射的定義域，必有大於或等於其陪域的[[基數 (數學)|基數]]：若<math>f:X \to Y</math>為滿射，則<math>X</math>的元素個數必定至少等於<math>Y</math>的元素個數（在[[基數 (數學)|基數]]意義下）。但此結論的證明，需要假定[[選擇公理]]，以證明<math>f</math>[[#右可逆函數|有右逆]]，即存在函數<math>g: Y \to X</math>使得<math>f(g(y)) = y</math>對<math>Y</math>的任意元素<math>y</math>成立。滿足此性質的<math>g</math>必為[[單射]]，故由[[基数_(数学)#定義|基數大小比較]]的定義，有<math>|Y| \le |X|</math>。
+特別地，若<math>X</math>和<math>Y</math>皆是[[有限集|有限]]，且兩者的元素個數相同，則<math>f: X \to Y</math>是滿射當且僅當<math>f</math>為[[單射]]。
-===其他性質===
-* 如果<math>f\circ g</math> 是满射，则<math>f</math>是满射。
+給定兩個集合<math>X</math>和<math>Y</math>，以<math>X \le ^* Y </math>表示「或者<math>X</math>為[[空集|空]]，或者存在由<math>Y</math>至<math>X</math>的滿射」。利用[[選擇公理]]，可以證明，<math>X \le ^* Y</math>和<math>Y \le ^* X</math>兩者一起，足以推出<math>|Y|=|X|</math>。此為[[康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理]]的變式。
-* 如果<math>f</math>和<math>g</math>皆为满射，则<math>f\circ g</math>为满射。
-* 任意函数<math>h:X\rightarrow Y</math>都可以分解为一个适当的满射<math>f</math>和单射<math>g</math>，使得<math>h=g\circ f</math>。
+===複合與分解===
-* 如果<math>f:X\rightarrow Y</math>为满射函数，则<math>X</math>在[[基數 (數學)|基數]]意义上至少有跟<math>Y</math>一样多的元素。
+兩個滿射的[[複合函數|複合]]仍是滿射：若<math>f</math>和<math>g</math>皆為滿射，且<math>g</math>的陪域是<math>f</math>的定義域，則<math>f \circ g</math>也是滿射。反之，若<math>f \circ g</math>為滿，則<math>f</math>是滿射，但<math>g</math>不必為滿射。與[[#右可消去|右可消去]]一節一樣，從[[集合範疇]]的滿射，可以推廣到一般[[範疇 (數學)|範疇]]的[[滿同態|滿態射]]。
-* 如果<math>X</math>和<math>Y</math>皆为具有相同元素-{}-数的[[有限集合]]，则<math>f:X\rightarrow Y</math>是满射当且仅当<math>f</math>是[[单射]]。
+任何函數都可以分解成一個滿射與一個[[單射]]的複合：對任意<math>h : X \to Z</math>，都存在滿射<math>f: X \to Y</math>和單射<math>g: Y \to Z</math>使得<math>h = g\circ f</math>，取法如下：定義<math>Y</math>為所有[[原像]]<math>h^\mathrm{pre}(z)</math>的集合，其中<math>z</math>歷遍<math>h</math>的[[值域]]。該些原像兩兩[[互斥集|互斥]]，且[[集合劃分|劃分]]<math>X</math>。於是，<math>f</math>將每個<math>x</math>映到包含<math>x</math>的原像（此為<math>Y</math>的元素），然後<math>g</math>再將<math>Y</math>的每個元素（形如<math>h^\mathrm{pre}(z)</math>）映到相應的<math>z</math>。則<math>f</math>為滿射（因為<math>Y</math>中的元素，是原像<math>h^\mathrm{pre}(z)</math>，且非空，故有某個<math>x \in h^\mathrm{pre}(z)</math>，所以由<math>f</math>的定義有<math>f(x) = h^\mathrm{pre}(z)</math>），而根據<math>g</math>的定義，其為單射。
+===導出滿射和導出雙射===
+任何函數，若將其[[陪域]]限制成[[值域]]，則可以視為滿射，稱為其'''導出滿射'''。任何滿射，若將定義域換成[[商集]]，即將函數值相同的參數，摺疊成同一個「等價類」，則得到一個[[雙射]]，其由等價類組成的集合，射去原函數的陪域。以符號表示，每個滿射<math>f: A \to B</math>可以分解成先做一個[[商映射]]，再做一個雙射。考慮以下[[等價關係]]：<math>x \sim y</math>當且僅當<math>f(x) = f(y)</math>。以<math>A/ {\sim}</math>表示此等價關係下，<math>A</math>的等價類的集合。換言之，<math>A/{\sim}</math>是<math>f</math>所有原像的集合。以<math>P : A \to A/{\sim}</math>表示將<math>x</math>映到等價類<math>[x]_\sim</math>的[[商映射]]，又設<math>f_P: A/{\sim} \to B</math>，定義為<math>f_P([x]_\sim) = f(x)</math>，則<math>f = f_P \circ P</math>。由定義知，<math>P</math>是滿射，而<math>f_P</math>是雙射。
 == 相关条目 ==

各種函數
$x \mapsto f (x)$
不同定義域和陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英语：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英语：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英语：function of several real variables） $X$ $X$ →（英语：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英语：Function of several complex variables） $X$
函數類/性質
常值恆等線性多項式有理代數解析光滑連續可測單射满射双射
構造
限制複合 λ 逆
推廣
偏（英语：Partial function）多值隱
查论编