元素 (數學)：修订间差异

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2023年11月25日 (六) 10:48的最新版本

在数学领域，集合的元素（英語：element）指构成该集合的任意对象，也可以称作成员（英語：member）。

集合

$A=\{1,2,3,4\}$ 表示集合 $A$ 中有四个元素，分别是数字1、2、3、4。由集合 $A$ 中元素组成的集合是 $A$ 的子集，例如 $\{1,2\}$ 。

集合本身也可以是元素。例如，集合 $B=\{1,2,\{3,4\}\}$ 的元素不是1、2、3、4四个数，而是数字1、2和集合 $\{3,4\}$ 这三个元素。

集合的元素还可以是任何东西。例如，集合 $C=\{\mathrm {\color {red}red} ,\mathrm {\color {green}green} ,\mathrm {\color {blue}blue} \}$ 的元素为red、green和blue。

符号和术语

符号「∈」表示「是 $X$ 中的元素」的关系，这种关系也称集合隶属关系（英語：set membership）。可以用

x\in A

表示「 $x$ 是 $A$ 中的元素」，也可以表达为「 $x$ 是 $A$ 的成员」、「 $x$ 在 $A$ 中」或「 $x$ 属于 $A$ 」。

有时也用「 $A$ 包含 $x$ 」表达集合隶属关系，但因为这样的说法也可以用来表达「 $x$ 是 $A$ 的子集」，应该谨慎使用，避免歧义。^[1]^[2]不过使用符号时没有歧义，可以用

A\ni x

来表达「 $A$ 包含 $x$ 」。

不隶属的关系可以用符号「 $\not \in$ 」表示，记作

x\notin A

意思是「 $x$ 不是 $A$ 的元素」。

符号∈最早见于朱塞佩·皮亚诺1889年的论文Arithmetices principia, nova methodo exposita。^[3]他在第 X 页^{[註 1]}上写道：

Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

意思是

符号 ∈ 表示“是”。所以a ∈ b被读作 a 是 b； …

该符号源自希腊字母“E”的小写“ϵ”，是单词ἐστί的第一个字母，意思为“是”。^[3]

字符	∈		∉		∋		∌
Unicode名称	Element of		Not an element of		Contains as member		Does not contain as member
编码	十进制	十六进制	十进制	十六进制	十进制	十六进制	十进制	十六进制
Unicode	2208	U+2208	2209	U+2209	2211	U+220B	2212	U+220C
UTF-8	226 136 136	E2 88 88	226 136 137	E2 88 89	226 136 139	E2 88 8B	226 136 140	E2 88 8C
UTF-16	8712	2208	8713	2209	8715	220B	8716	220C
字符值引用	∈	∈	∉	∉	∋	∋	∌	∌
字符值引用	∈		∉		&ni;
LaTeX	\in		\notin		\ni		\not\ni or \notni
Wolfram Mathematica	\[Element]		\[NotElement]		\[ReverseElement]		\[NotReverseElement]

集合的势

参见

注释

^ 这里的“X”是希腊数字的10

參考資料

^ Eric Schechter. Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. 1997. ISBN 0-12-622760-8. p. 12
^ George Boolos. 24.243 Classical Set Theory (lecture) (演讲). 麻省理工学院. February 4, 1992.
^ ^3.0 ^3.1 Kennedy, H. C. What Russell learned from Peano. Notre Dame Journal of Formal Logic (Duke University Press). July 1973, 14 (3): 367–372. MR 0319684. doi:10.1305/ndjfl/1093891001 .

延伸阅读

Halmos, Paul R., Naive Set Theory, 數學大學生教材 Hardcover, NY: Springer-Verlag, 1974 [1960], ISBN 0-387-90092-6 - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
Jech, Thomas, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2002 [2022-06-29], （原始内容存档于2015-03-14）
Suppes, Patrick, Axiomatic Set Theory, NY: Dover Publications, Inc., 1972 [1960], ISBN 0-486-61630-4 - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".

[4] 这里的“X”是希腊数字的10

[schech-1] Eric Schechter. Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. 1997. ISBN 0-12-622760-8. p. 12

[boolos-2] George Boolos. 24.243 Classical Set Theory (lecture) (演讲). 麻省理工学院. February 4, 1992.

[ken-3] 3.0 ^3.1 Kennedy, H. C. What Russell learned from Peano. Notre Dame Journal of Formal Logic (Duke University Press). July 1973, 14 (3): 367–372. MR 0319684. doi:10.1305/ndjfl/1093891001 .

[1]

[2]

[3]

[註 1]

@@ 第1行： / 第1行： @@
+{{Merge|属于关系 (集合论)|discuss=Talk:元素 (數學)#請求與属于关系 (集合论)合併|time=2022-01-26T22:31:17+00:00}}
-'''∈'''，是[[数学]]中常用的符号，意思为'''属于'''，是指某个[[元素]]屬於某個[[集合]]。例如，数5属于[[整数]]集合<math>\mathbb{Z}</math>，则可以表示为<math>5\in \mathbb{Z}</math>。
+{{lead section|time=2015-02-14T10:49:00+00:00}}
+{{For|[[范畴论]]的元素|元素 (范畴论)}}
-<math>\in</math>源自[[希臘字母]][[ε]]，虽然已经极少，但在一些文献中还有在使用，例如John Milnor的"Topology from the Differentiable Viewpoint" (1965,1997)。
+在[[数学]]领域，[[集合 (数学)|集合]]的'''元素'''（{{lang-en|element}}）指构成该集合的任意[[数学对象|-{zh:对象;zh-cn:对象;zh-tw:物件;}-]]，也可以称作'''成员'''（{{lang-en|member}}）。
-一般地，以大寫字母代表集合，小寫的字母代表该集合中的元素。例如，
-#<math>a \in A</math>代表元素<math>a</math>屬於集合<math>A</math>
-#<math>B \subset A</math>代表集合<math>B</math>是集合<math>A</math>的[[子集]]
-#<math>B \in A</math>代表集合<math>B</math>屬於集合<math>A</math>，即集合<math>A</math>內有一個元素是集合<math>B</math>。
+== 集合 ==
-值得注意的是<math>\in</math>一般用于[[元素]]的归属，即集合中某个元素的归属，而集合的归属关系（如上面的第三个例子）一般用<math>\subset</math>或者<math>\subseteq</math>来表示。
+<math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math>表示集合<math>A</math>中有四个元素，分别是数字1、2、3、4。由集合<math>A</math>中元素组成的集合是<math>A</math>的[[子集]]，例如 <math>\{1, 2\}</math>。
+集合本身也可以是元素。例如，集合<math>B = \{1, 2, \{3, 4\}\}</math>的元素不是1、2、3、4四个数，而是数字1、2和集合<math>\{3, 4\}</math>这三个元素。
-:<math>\in</math>是[[Unicode]]字元8712(∋)，[[TeX]]中可以用命令<code>\in</code>打出。
-:<math>\subset</math>是[[Unicode]]字元8834(⊂)，[[TeX]]中可以用命令<code>\subset</code>打出。
-:<math>\subseteq</math>是[[Unicode]]字元8838(⊆)，[[TeX]]中可以用命令<code>\subseteq</code>打出。
+集合的元素还可以是任何东西。例如，集合<math>C = \{\mathrm{\color{red}red}, \mathrm{\color{green}green}, \mathrm{\color{blue}blue}\}</math>的元素为{{紅|red}}、{{Green|green}}和{{Blue|blue}}。
-[[Category:集合論基本概念]]
-[[Category:数学符号]]
+== 符号和术语 ==
-[[be:Элемент]]
+符号「∈」表示「是<math>X</math>中的元素」的[[二元关系|关系]]，这种关系也称'''[[属于关系 (集合论)|集合隶属关系]]'''（{{lang-en|set membership}}）。可以用
-[[be-x-old:Элемэнт (матэматыка)]]
+:<math>x \in A</math>
-[[de:Element (Mathematik)]]
-[[en:Element (mathematics)]]
+表示「<math>x</math>是<math>A</math>中的元素」，也可以表达为「<math>x</math>是<math>A</math>的成员」、「<math>x</math>在<math>A</math>中」或「<math>x</math>属于<math>A</math>」。
-[[et:Element (matemaatika)]]
-[[fi:Alkio (joukko-oppi)]]
+有时也用「<math>A</math>包含<math>x</math>」表达集合隶属关系，但因为这样的说法也可以用来表达「<math>x</math>是<math>A</math>的[[子集]]」，应该谨慎使用，避免歧义。<ref name="schech">{{cite book |author = Eric Schechter |title= Handbook of Analysis and Its Foundations |publisher=Academic Press |year= 1997|isbn= 0-12-622760-8 }} p. 12</ref><ref name="boolos">{{cite speech |title=24.243 Classical Set Theory (lecture) |author=George Boolos |date=February 4, 1992 |location=[[麻省理工学院]] }}</ref>不过使用符号时没有歧义，可以用
-[[fiu-vro:Hulga elonik]]
-[[fr:Élément (mathématiques)]]
+: <math>A \ni x</math>
-[[he:איבר (מתמטיקה)]]
-[[it:Elemento (insiemistica)]]
+来表达「<math>A</math>包含<math>x</math>」。
-[[ja:元 (数学)]]
-[[ko:원소 (수학)]]
+不隶属的关系可以用符号「<math>\not\in</math>」表示，记作
-[[nl:Element (wiskunde)]]
-[[sv:Element (mängdteori)]]
+:<math>x \notin A</math>
-[[ta:உறுப்பு (கணிதம்)]]
-[[th:สมาชิก (คณิตศาสตร์)]]
+意思是「<math>x</math>不是<math>A</math>的元素」。
+符号∈最早见于[[朱塞佩·皮亚诺]]1889年的论文''{{Lang|la|Arithmetices principia, nova methodo exposita|italic=yes}}''。<ref name="ken">{{Cite journal |last=Kennedy |first=H. C. |date=July 1973 |title=What Russell learned from Peano |journal=Notre Dame Journal of Formal Logic |publisher=Duke University Press |volume=14 |issue=3 |page=367–372 |doi=10.1305/ndjfl/1093891001 |mr=0319684 |doi-access=free}}</ref>他在第 X 页{{noteTag|这里的“X”是[[希腊数字]]的10}}上写道：
+<blockquote>{{Lang|la|Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …}}</blockquote>
+意思是
+<blockquote>符号 ∈ 表示“是”。所以a ∈ b被读作 a 是 b； …</blockquote>
+该符号源自希腊字母“[[E]]”的小写“[[ϵ]]”，是单词{{Wikt-lang|grc|ἐστί}}的第一个字母，意思为“是”。<ref name="ken"/>
+{{charmap
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+== 集合的势 ==
+{{main|势 (数学)}}
+== 参见 ==
+* [[單位元]]
+* [[单元素集合]]
+== 注释 ==
+{{NoteFoot}}
+== 參考資料 ==
+{{Reflist}}
+== 延伸阅读 ==
+*{{Citation|last=Halmos|first=Paul R.|author-link=保羅·哈爾莫斯|orig-year=1960|year=1974|title=Naive Set Theory|publisher=Springer-Verlag|location=NY|edition=Hardcover|series=[[數學大學生教材]]|isbn=0-387-90092-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r4g0}} - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
+*{{Citation|last=Jech|first=Thomas|author-link=Thomas Jech|year=2002|title=Stanford Encyclopedia of Philosophy|chapter=Set Theory|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|chapter-url=http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/|accessdate=2022-06-29|archive-date=2015-03-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20150314173026/http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/|dead-url=no}}
+*{{Citation|last=Suppes|first=Patrick|author-link=Patrick Suppes|orig-year=1960|year=1972|title=Axiomatic Set Theory|publisher=Dover Publications, Inc.|location=NY|isbn=0-486-61630-4|url-access=registration|url=https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_0}} - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".
+[[Category:集合論基本概念|Y]]
+[[Category:数学符号|Y]]
+{{集合论}}

查论编集合论
公理	选择可数依賴外延无穷配对幂集正则性并集马丁公理公理模式替代分类
运算	笛卡儿积德摩根定律交集冪集补集对称差并集
概念方法	势基数（大基数）类可构造全集（英语：Constructible universe）连续统假设對角論證法元素有序对元组集合族力迫一一对应序数超限归纳法文氏图
集合类型	可數集空集有限集合（继承有限集合）模糊集无限集合递归集合子集传递集合不可數集泛集（英语：Universal set）
理论	可替代的集合论集合论朴素集合论康托尔定理策梅洛广义（英语：General set theory）《数学原理》新基础策梅洛-弗兰克冯诺伊曼-博内斯-哥德尔 Morse–Kelley（英语：Morse–Kelley set theory）克里普克–普拉特克（英语：Kripke–Platek set theory）塔斯基–格罗滕迪克（英语：Tarski–Grothendieck set theory）
悖论（英语：Paradoxes of set theory）问题	罗素悖论蘇斯林問題 ZFC系統無法確定的命題列表
集合論者	亚伯拉罕·弗兰克尔伯特兰·罗素恩斯特·策梅洛格奥尔格·康托尔约翰·冯·诺伊曼库尔特·哥德尔盧菲特·澤德保罗·贝尔奈斯（英语：Paul Bernays）保罗·寇恩理查德·戴德金托马什·耶赫威拉德·蒯因