自同态：修订间差异

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2023年11月25日 (六) 11:12的最新版本

在数学中，自同态（英語：endomorphism）是从一个数学对象到它本身的态射（或同态）。例如，向量空间V的自同态是线性映射ƒ: V → V，而群G的自同态则是群同态ƒ: G → G，等等。一般地，我们可以讨论任何范畴中的自同态，在集合范畴中，自同态就是从集合S到它本身的函数。

在任何范畴中，X的任何两个自同态的复合也是X的自同态。于是可以推出，X的所有自同态的集合形成了一个幺半群，记为End(X)（或End_C(X)，以强调范畴C）。

自同构

$X$ 的可逆自同态称为自同构。所有自同构的集合是 $End(X)$ 的一个子群，称为 $X$ 的自同构群，记为 $Aut(X)$ 。在以下的图中，箭头表示蕴含：

自同构	$\Rightarrow$	同构
$\Downarrow$		$\Downarrow$
自同态	$\Rightarrow$	同态

自同态环

阿贝尔群A的任何两个自同态都可以相加起来，根据规则 $(f + g)(a) = f (a) + g (a)$ 。在这个加法下，阿贝尔群的自同态形成了一个环（自同态环）。例如， $Z n$ 的自同态的集合是所有整系数 $n \times n$ 矩阵的环。向量空间或模的自同态也形成了一个环，像预加法范畴中的任何对象的自同态一样。非阿贝尔群的自同态生成了一个代数结构，称为拟环（英语：Near-ring）。

参见

外部链接

自同态和假象的范畴. Victor Porton. 2005. - 范畴的自同态（尤其是带有偏序态射的范畴）也是一定的范畴的对象。
Endomorphism. PlanetMath.

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+{{NoteTA
-在数学中，'''自同态'''是从一个数学对象到它本身的[[态射]]（或[[同态]]）。例如，[[向量空间]]''V''的自同态是[[线性映射]]ƒ:&nbsp;''V''&nbsp;→&nbsp;''V''，而[[群]]''G''的自同态则是[[群同态]]ƒ:&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;''G''，等等。一般地，我们可以讨论任何[[范畴论|范畴]]中的自同态，在[[集合范畴]]中，自同态就是从集合''S''到它本身的函数。
+|G1 = Math
+|1=zh-cn:數學對象;zh-tw:數學物件;
+}}
+在数学中，'''自同态'''（{{lang-en|endomorphism}}）是从一个[[数学对象]]到它本身的[[态射]]（或[[同态]]）。例如，[[向量空间]]''V''的自同态是[[线性映射]]ƒ:&nbsp;''V''&nbsp;→&nbsp;''V''，而[[群]]''G''的自同态则是[[群同态]]ƒ:&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;''G''，等等。一般地，我们可以讨论任何[[范畴论|范畴]]中的自同态，在[[集合范畴]]中，自同态就是从集合''S''到它本身的函数。
 在任何范畴中，''X''的任何两个自同态的[[复合函数|复合]]也是''X''的自同态。于是可以推出，''X''的所有自同态的集合形成了一个[[幺半群]]，记为End(''X'')（或End<sub>''C''</sub>(''X'')，以强调范畴''C''）。
+==自同构==
-''X''的[[逆元素|可逆]]自同态称为[[自同构]]。所有自同构的集合是End(''X'')的一个[[子群]]，称为''X''的[[自同构群]]，记为Aut(''X'')。在以下的图中，箭头表示蕴含：
+{{main|自同构}}
+{{math|''X''}}的[[逆元素|可逆]]自同态称为[[自同构]]。所有自同构的集合是{{math|End(''X'')}}的一个[[子群]]，称为{{math|''X''}}的[[自同构群]]，记为{{math|Aut(''X'')}}。在以下的图中，箭头表示蕴含：
 :{| border="0"
 |-
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 |}
+==自同态环==
-[[阿贝尔群]]''A''的任何两个自同态都可以相加起来，根据规则(ƒ&nbsp;+&nbsp;''g'')(''a'')&nbsp;=&nbsp;ƒ(''a'')&nbsp;+&nbsp;''g''(''a'')。在这个加法下，阿贝尔群的自同态形成了一个[[环]]（[[自同态环]]）。例如，'''Z'''<sup>''n''</sup>的自同态的集合是所有整系数''n''&nbsp;×&nbsp;''n''[[矩阵]]的环。向量空间或[[模]]的自同态也形成了一个环，像[[预加法范畴]]中的任何对象的自同态一样。非阿贝尔群的自同态生成了一个代数结构，称为[[拟环]]。
+[[阿贝尔群]]''A''的任何两个自同态都可以相加起来，根据规则{{math|(''f'' + ''g'')(''a'') {{=}} ''f''(''a'') + ''g''(''a'')}}。在这个加法下，阿贝尔群的自同态形成了一个环（[[自同态环]]）。例如，{{math|'''Z'''<sup>''n''</sup>}}的自同态的集合是所有整系数{{math|''n'' × ''n''}}[[矩阵]]的环。向量空间或[[模]]的自同态也形成了一个环，像[[预加法范畴]]中的任何对象的自同态一样。非阿贝尔群的自同态生成了一个代数结构，称为{{le|拟环|Near-ring}}。
 == 参见 ==
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 == 外部链接 ==
-* [http://www.mathematics21.org/pseudomorphisms-category.xml 自同态和假象的范畴]. [http://www.mathematics21.org/ Victor Porton]. 2005. - [[范畴论|范畴]]的自同态（尤其是带有[[偏序]][[态射]]的范畴）也是一定的范畴的[[范畴论|对象]]。
+* [https://web.archive.org/web/20080927010558/http://www.mathematics21.org/pseudomorphisms-category.xml 自同态和假象的范畴]. [http://www.mathematics21.org/ Victor Porton]. 2005. - [[范畴论|范畴]]的自同态（尤其是带有[[偏序]][[态射]]的范畴）也是一定的范畴的[[范畴论|对象]]。
 * {{planetmath reference|id=7462|title=Endomorphism}}
 [[Category:态射]]
-[[ca:Endomorfisme]]
-[[de:Endomorphismus]]
-[[en:Endomorphism]]
-[[et:Endomorfism]]
-[[fr:Endomorphisme]]
-[[it:Endomorfismo]]
-[[nl:Endomorfisme]]
-[[pl:Endomorfizm]]
-[[ru:Эндоморфизм]]
-[[sl:Endomorfizem]]
-[[sr:Ендоморфизам]]